При помощи формулы Пика можно находить площадь фигуры, построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник).

В задачах, которые будут на ЕГЭ, есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник, построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки - один квадратный сантиметр.

Просмотр содержимого презентации

Георг Пик

Георг Александр Пик,

австрийский математик

(10.08.1859 - 13.07.1942)

Формула была открыта в 1899 г.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

• М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах):
• N – количество узлов внутри треугольника;

* Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

• M = 15 (обозначены красным)
• N = 34 (обозначены синим)

Найдём площадь параллелограмма:

Отметим узлы:

• M = 18 (обозначены красным)
• N = 20 (обозначены синим)

Найдём площадь трапеции:

Отметим узлы:

• M = 24 (обозначены красным)
• N = 25 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

Отметим узлы:

• M = 14 (обозначены красным)
• N = 43 (обозначены синим)

Отметим узлы:

• M = 11 (обозначены красным)
• N = 5 (обозначены синим)

Решите самостоятельно:

1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах .

Опишем около неё прямоугольник:

• Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

Ответы:

№ задания

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вычисление площади фигуры.

Метод Пика

Работа обучающейся 5Б класса МБОУ СОШ №23 г. Иркутска

Балсуковой Александры

Руководитель: Ходырева Т.Г.

2014г.

Вычисление площади фигуры. Метод Пика

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования : задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературы и Интернет-ресурсов, анализ информации.

Цель исследования:

выбрать главную, интересную, понятную информацию

Проанализировать и систематизировать полученную информацию

Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика

Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

(Г. Галилей)

Актуальность темы

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» встает вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебнике. К таким задачам можно отнести задачи на клетчатой бумаге. В чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. На уроке математики учитель познакомила нас с интересным методом вычисления многоугольников. Я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

И еще я узнала, что такие задачи рассматриваются в контрольно – измерительных материалах ГИА и ЕГЭ. Поэтому, считаю изучение этого материала полезным для применения его не только в дальнейшем учебном процессе, но и для решения нестандартных олимпиадных задач.

2.Понятие площади

Площадь - численная характеристика двумерной геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось . Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой .

Площадь плоской фигуры с точки зрения геометрии

1. Площадь -мера плоской фигуры по отношению к стандартной фигуре, являющейся квадратом со стороной, равной единице длины.

2. Площадь - численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (например, многоугольникам). Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, принимаемая равной единице площади

3. Площадь - положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

 Равные фигуры имеют равные площади;

 Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами (т.е. те, которые можно разбить на конечное число плоских треугольников), то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;

 Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Таким образом, можно сделать вывод, что площадь не является конкретной величиной, а только дает некоторую условную характеристику какой-либо плоской фигуры. Чтобы найти площадь произвольной фигуры, то необходимо определить, сколько квадратов со стороной, равной единице длины, она в себя вмещает. Например, возьмем прямоугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается ровно 6 раз. Это означает, что площадь прямоугольника равняется 6 см 2 .

Выбор площади квадрата со стороной, равной единице измерения, в качестве минимальной единицы измерения всех площадей не случаен. Это результат договоренности между людьми, возникший в ходе «естественного» многовекового отбора. Кроме того, были и другие предложения о единице измерения. Так, например, за такую единицу предлагалось взять площадь равностороннего треугольника (т.е. любую плоскую фигуру можно было представить в виде «суммы» некоего числа равносторонних треугольников), что привело бы к изменению численного представления площадей.

Таким образом, формулы для вычисления площадей появились в математике и осознались человеком не сразу-это многих ученых, проживающих в разные эпохи и разных странах. (Ошибочные формулы не находили место в науке и уходили в небытие). Истинные же формулы дополнялись, исправлялись и обосновывались на протяжений тысячелетий, пока не дошли до нас в их современном обличии.

Само же измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью фигуры, принятой за единицу измерения. В результате сравнения получается некоторое число- численное значение площади данной фигуры. Это число показывает, во сколько раз площадь данной фигуры больше (или меньше) площади фигуры, принятой за единицу измерения площади.

Таким образом, можно сделать вывод, что площадь-это искусственная величина, исторически введенная человеком для измерения некоторого свойства плоской фигуры. Необходимость ввода такой величины обуславливалась возрастающими потребностями в знании того, насколько большая та или иная территория, сколько надо зерна, чтобы засеять поле или вычислить площадь поверхности пола для украшения орнаментной плитки.

Формула Пика

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки многоугольника хоть одну общую точку.

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

Теорема . Пусть - число целочисленных точек внутри многоугольника, - количество целочисленных точек на его границе, - его площадь. Тогда справедлива формула Пика :

Пример. Для многоугольника на рисунке L = 7 (красные точки), 9 (зеленые точки), поэтому S = 7+ 9/2 -1 = 10,5 квадратных единиц.

Теорема Пика - классический результат и .

Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт.

3. История

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Александром (1859-1942) в г.. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в . В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1884 году Пик уехал в к . Там он познакомился с другим учеником Клейна, . Позже, в 1885 году, он вернулся в , где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

Георг Пик дружил с Эйнштейном. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им более 50 научных работ. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

4.Приложения формулы Пика

Формула Пика используется не только для вычисления площадей многоугольников, но и для решения многих задач олимпиадного уровня.

Некоторые примеры использования формулы Пика при решении задач:

1) Шахматный король обошел доску 8 × 8 клеток, побывав на каж-

дом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное

поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые

проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может

ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)

Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ло-

маной, равна 64/2 − 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64

полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким

образом, хотя таких «траекторий» короля достаточно много, но все они

ограничивают многоугольники равных площадей.

Задачи из контрольно – измерительных материалов ГИА и ЕГЭ

Задание B3

Найдите площади фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4.Заключение

В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки с подвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.

Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому наша я решила продолжить работу в этом направлении.

5. Используемая литература:

1.В а с и л ь е в Н. Б. Вокруг формулы Пика // Квант. - 1974. - № 12

2.К о к с е П р а с о л о в В. В. Задачи по планиметрии. - М.: МЦНМО, 2006.т е р Г. С.М. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966

3.Рослова Л.О., Шарыгин И.Ф. Измерения. – М.:Изд. «Открытый мир», 2005.

Интернет – ресурсы :

:

Отзыв на работу

«Вычисление площадей плоских фигур. Метод Пика»

Рассмотрение данной темы позволит повысить познавательную активность обучающегося, который впоследствии на уроках геометрии начнет видеть гармонию чертежа и перестанет воспринимать геометрию (да и математику в целом) как скучную науку.

Отзыв составила учитель математики

Ходырева Татьяна Георгиевна

Просмотр содержимого документа
«На выступление»

Введение

Рано или поздно всякая правильная

математическая идея находит

(А.Н. Крылов)

Многие ученики сталкиваются с задачами на нахождение площади треугольника, параллелограмма, многоугольника и других геометрических фигур по рисунку на клетчатой бумаге. Применяя правила и теоремы из геометрии, ученик может запутаться или забыть, да и к тому же уходит много времени на дополнительное построение, а в условиях экзамена дорога каждая минута. Чтобы не тратить много усилий, времени и не вспоминать впопыхах теоремы, аксиомы, правила, существует теорема Пика, с помощью которой можно без проблем и траты времени вычислить площадь фигуры, расположенной на клетчатой бумаге.

Увидев такие задачи в контрольно–измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ, решил обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Так и была определена тема для исследования.

Теорема Пика актуальна для всех школьников, сдающих экзамены. Поэтому её нужно знать, чтобы быстро и правильно решать задачи на нахождение площади.
Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге.

Предмет исследования : задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования :

Теоретические: анализ и синтез.

Эмпирические: сравнение.
Индуктивный метод – получение выводов из конкретных примеров.

Эксперимент.

Цель исследования: Проверить формулу Пика для вычисления площадей геометрических фигур в сравнении с формулами геометрии.

А кто же такой Пик?

Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Уже в следующем году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет. Он изучал математику и физику, окончил в 1879 г. универститет, получив возможность преподавать оба эти предмета. В 1877 году из Дрезденской Высшей технической школы (Technische Hochschule) переехал Лео Кёнигсбергер, который занял кафедру в венском университете. Он стал руководителем Пика, и 16 апреля 1880 г. Пик защитил докторскую диссертацию “О классе абелевых интегралов”

Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Это задание мы рассматривали на уроке. Хотя многоугольник выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось изрядно потрудиться. Мы потратили 10 минут времени на решение этой задачи. Хочу отметить, что не все учащиеся нашего класса справились с данным заданием. А когда нам сказали, что есть формула позволяющая вычислить площадь за одну минуту, то меня очень заинтересовало и я решил заняться изучением этого вопроса.

Сначала я решил узнать какими способами вычисляли площадь мои одноклассники, кто справился с заданием и заняться изучением формулы. В нашем классе никто не знал формулы Пика. Также это задание мы решили дать учащимся 9 и 11 классов. Вот что у нас получилось.

Формула Пика:

А сейчас мы хотели показать вам пример, как с помощью формулы Пика можно найти площадь фигуры на клетчатой решетки.

Вывод: Таким образом, рассматривая задачи на нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнивая результаты в таблицах, мы показали справедливость формулы Пика и пришли к выводу, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле геометрии.

«Формула Пика»

Выполнил:

Руководитель: Паркина Наталья Ивановна,

учитель математики

Актуальность

Объект исследования:

Задачи на клетчатой бумаге.

Предмет исследования:

Методы исследования:

Цель исследования:

применение в том или ином деле.

(А.Н. Крылов)

• Подсчет количества клеток;
• Формула Пика.

Найдём площадь многоугольника

Искать её можно по-разному.

S = 5 ・ 6 – 13=17 (кв.ед.)

Вот что у нас получилось

Класс

Правильно

Неправильно

всего

Способ

Класс

Подсчет клеток

Разбиение фигуры

всего

Формула

Пика

Теорема Пика или Формула Пика

Пусть В −

Г − S − его площадь.

S = В + Г/2 – 1

Пример.

В = 13 (красные точки),

Г= 6 (синие точки), поэтому

S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

Доказательство

Обозначим:

n

m

сторонах,

Следовательно, площадь многоугольника равна 1/2 m .

180 0 m .

180 0 (Г – n ).

n – 2) .

Общая сумма углов всех треугольников равна

360 0 В +180 0 (Г– n ) + 180 0 (n –2).

Таким образом, 180 0 m = 360 0 В + 180 0 (Г– n ) + 180 0 (n – 2),

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г – 180 0 n + 180 0 n – 180 0 ·2,

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г– 360 0 , 1/2 m = В + Г/2 – 1 ,

Г=4(точки на узлах)

В=0(точки внутри фигуры)

Ответ: 1см 2

• 1 клетка = 1 см
• Г = 15 (обозначены красным)
• В = 34 (обозначены синим)

• Г = 14 (обозначены красным)
• В = 43 (обозначены синим)

Решение заданий ЕГЭ

Формула Пика-

формула для вычисления

площади

многоугольников,

полезна при решении заданий

ЕГЭ и ОГЭ

Задание ЕГЭ – 2015

Решение.

По формуле Пика:

S = Г:2 + В - 1

Г = 7 , В = 5

S = 7:2 + 5 – 1 =

= 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

Задания ЕГЭ - 2015

Г = 7 В = 2

S = 7:2 + 2 - 1 = 4 ,5

Г = 4 В = 0

S = 4: 2 + 0 - 1 = 1

Задача. Найдите площадь S

Ответ: ≈ 1,11.

Задача . ABC .

Задача. ABCD

Задача. Найдите площадь S

Ответ: ≈3,5.

Пример №1

Г = 14

S = 14:2 + 43–1 =

= 49

Пример № 2

Г = 11

S = 11:2 + 5 – 1= = 9,5

Пример №3

S = 15:2 + 22 – 1=

Пример № 4

S = 8:2 +16 – 1 =

Пример № 5

Г = 10

S = 10:2 + 30 –1 =

27

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

17

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=4,Г=14, S=4+½·14-1=10

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=36, Г=21

• По формуле Пика S =В +½Г-1 В=36, Г=21 S = 36 + ½·21 -1=36+10,5-1=45,5

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=6,Г=18, S=6+½·18-1=14

Г = 16 В = 4 S = Г : 2 + В - 1 S = 16 : 2 + 4 – 1 = 11

Задача.

Основной вывод:

Заключение

Просмотр содержимого презентации
«Формула Пика2»

Исследовательская работа по математике

Применение формулы Пика для вычисления площади многоугольников с вершинами в узлах клетки

Выполнил: Васякин Михаил, ученик 10 класса

Руководитель: Паркина Наталья Ивановна,

учитель математики

Актуальность работы состоит в том, что формула Пика для вычисления площади многоугольников в школьном курсе математики (геометрии) не рассматривается. Изучение данной темы расширяет интеллектуальный кругозор учащихся, а применение её упрощает нахождение площади геометрической фигуры, изображенной на клетчатой бумаге (сетке). Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ содержат задания подобного типа, и их можно решить, применяя формулу Пика.

Объект исследования:

Задачи на клетчатой бумаге.

Предмет исследования:

Задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.

Методы исследования:

Сравнение, моделирование, обобщение, аналогии, изучение литературы и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования:

Обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

• Изучить литературу по данной теме;
• Рассмотреть различные способы вычислений площадей многоугольников;
• Показать практическое применение этих способов;
• Выяснить преимущества и недостатки каждого способа;
• Систематизировать и углубить накопленные мной знания;
• Повысить качество знаний и умений;
• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит

применение в том или ином деле.

(А.Н. Крылов)

Георг Александр Пик- австрийский математик, родился в еврейской семье.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

• Подсчет количества клеток;
• Применение формул планиметрии;
• Разбиение фигуры на более простые фигуры;
• Достроение фигуры до прямоугольника;
• Формула Пика.

Найдём площадь многоугольника

Искать её можно по-разному.

Способы, применяемые для вычисления площади данной фигуры

1способ: Подсчет количества клеток (для данной фигуры приближенный).

2 способ: Попробовать разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры (рис.2), найти их площади и сложить.

3 способ: Вычислить площадь фигуры (рис.3), которая дополняет многоугольник до прямоугольника, и вычесть эту площадь из площади прямоугольника. Дополненная фигура (в отличие от исходного многоугольника) легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники так, что её площадь вычисляется без усилий.

S = 2+1+0,5 + 3+ 2 + 1 + 2 +1,5=13 (кв.ед.)

Следовательно, площадь исходного многоугольника равна

S = 5 ・ 6 – 13=17 (кв.ед.)

Вот что у нас получилось

Класс

Правильно

Неправильно

всего

Способ

Подсчет клеток

Класс

Разбиение фигуры

всего

Достроить фигуру до прямоугольника

Формула

Пика

Попробуйте найти площадь фигуры

Для этого есть простой и удобный способ.

Теорема Пика или Формула Пика

Пусть В − число узлов сетки внутри многоугольника,

Г − количество узлов на его границе, S − его площадь.

Тогда справедлива формула Пика: S = В + Г/2 – 1

Пример.

Для многоугольника на рисунке В = 13 (красные точки),

Г= 6 (синие точки), поэтому

S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

Доказательство

Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, то есть имеют целочисленные координаты.

Обозначим:

n – число сторон многоугольника,

m – количество треугольников с вершинами в узлах

решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на

сторонах,

В – число узлов внутри многоугольника,

Г – число узлов на сторонах, включая вершины.

Площади всех этих треугольников одинаковы и равны

Следовательно, площадь многоугольника равна 1/2m.

Общая сумма углов всех треугольников равна 180 0 m .

Теперь найдём эту сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 360 0 .

Тогда сумма углов с вершинами во всех внутренних узлах равна 360 0 В.

Общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна

180 0 (Г – n ).

Сумма углов при вершинах многоугольника равна 180 0 (n – 2) .

Общая сумма углов всех треугольников равна

360 0 В +180 0 (Г– n ) + 180 0 (n –2).

Таким образом, 180 0 m = 360 0 В + 180 0 (Г– n ) + 180 0 (n – 2),

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г – 180 0 n + 180 0 n – 180 0 ·2,

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г– 360 0 , 1/2m= В + Г/2 – 1 ,

откуда получаем выражение для площади S многоугольника:

S = В + Г/2 – 1 , известное как формула Пика.

Г=4(точки на узлах)

В=0(точки внутри фигуры)

Ответ: 1см 2

• 1 клетка = 1 см
• Г = 15 (обозначены красным)
• В = 34 (обозначены синим)

• Г = 14 (обозначены красным)
• В = 43 (обозначены синим)

Решение заданий ЕГЭ

Формула Пика-

формула для вычисления

площади

многоугольников,

полезна при решении заданий

ЕГЭ и ОГЭ

Задание ЕГЭ – 2015

Найдите площадь четырёхугольника АВСD

Решение.

По формуле Пика:

S = Г:2 + В - 1

Г = 7 , В = 5

S = 7:2 + 5 – 1 =

= 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

Задания ЕГЭ - 2015

Г = 7 В = 2

S = 7:2 + 2 - 1 = 4,5

Г = 4 В = 0

S = 4: 2 + 0 - 1 = 1

Теперь, зная новую формулу, мы легко сможем найти площадь и этого четырехугольника.

Так как В =5; Г = 14, то 5+14:2-1=11 (см в квадрате)

Площадь данного четырехугольника равна 11 см в квадрате.

По той же формуле мы можем найти площадь треугольника.

Так как В=14, Г=10,то 14+10:2-1=18 (см в квадрате)

Площадь данного треугольника равна 18 см в квадрате.

Если В=9, Г=12, тогда: 9+12:2-1=14 (см в квадрате)

Площадь данного четырехугольника равна 14 см в квадрате.

Задача. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите.

Решение: Г= 5, В= 2, S = В + Г/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5 .

Ответ: ≈ 1,11.

Задача . Найдите площадь треугольника ABC .

Решение: Г = 7, В = 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 7/2 – 1= 7,5.

Задача. Найдите площадь четырехугольника ABCD , считая стороны квадратных клеток равными 1.

Решение: Г= 4, В= 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 4/2 – 1= 6

Задача. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите

Решение: Г= 8, В= 8, S = В + Г/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11,

Ответ: ≈3,5.

Пример №1

Г = 14

S = 14:2 + 43–1 =

Пример №2

Г = 11

S = 11:2 + 5 – 1= = 9,5

Пример №3

S = 15:2 + 22 – 1=

Пример № 4

S = 8:2 +16 – 1=

Пример № 5

Г = 10

S = 10:2 + 30 –1=

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

27

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

17

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=4,Г=14, S=4+½·14-1=10

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=36, Г=21

S = 36 + ½·21 -1=36+10,5-1=45,5

По формуле Пика S =В +½Г-1 В=6,Г=18, S=6+½·18-1=14

Г = 16 В = 4 S = Г : 2 + В - 1 S = 16 : 2 + 4 – 1 = 11

Задача. Найти площадь прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1.

полной поверхности по формуле Пика невозможно!

Основной вывод:

Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

1.Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: S = В + Г/2 - 1

2.Формула Пика очень проста для запоминания.

3.Формула Пика очень удобна и проста в применении.

4.Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Заключение

При выполнении работы были решены задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.

Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы:

1) Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2) Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

3) Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

4) Формула Пика облегчает и ускоряет нахождение площади многоугольников. Но и она имеет свои недостатки:

• Чертёж должен быть очень четким (для подсчета узлов);
• Формула применяется лишь в том случае, если многоугольник изображен на клетчатой бумаге;

Способы вычисления площадей многоугольников, в том числе с помощью формулы Пика позволяет успешному изучению геометрии в старших классах. Данная работа может быть полезна для учащихся при подготовке к итоговой аттестации.

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).

Теорема Пика

Формула

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через .

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика :

В частности, если известны значения I и B для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за , даже не зная координат его вершин.

Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Доказательство

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

Обобщение на высшие размерности

К сожалению, эта столь простая и красивая формула Пика плохо обобщается на высшие размерности.

Наглядно показал это Рив (Reeve), предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива ) со следующими вершинами:

где — любое натуральное число. Тогда этот тетраэдр при любых не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки , , , и никакие другие. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.

Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта (Ehrhart Polynomial), но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.

Введение
Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» учителем были предложены задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно - измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ, решил обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры. Оказывается, задачи на клетчатой бумаге являются обширным классом математических задач. Решения таких задач оригинальны, красивы и часто решаются проще и быстрее, чем аналитическим путем. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.
Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.
Так и была определена тема для исследования.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель исследования
1. Изучение формулы Пика.
2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Задачи:
1.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
2.Проанализировать и систематизировать полученную информацию
3.Создать презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам
4.Сделать выводы по результатам работы.
5.Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.

Методы исследования:
1. Моделирование.
2. Построение.
3. Анализ и классификация информации.
4. Сравнение, обобщение.
5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов

Гипотеза: Вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии.

Исследование формулы Пика.
Формула Пика. Решетки. Узлы.
При решении задач на клетчатой бумаге необходимы понятия решетки и узла.
Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты (Рис. 1). Любой из этих квадратов называется фундаментальным квадратом или квадратом, порождающим решетку. Множество всех точек
Рис. 1. пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки - узлами решетки.
Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге (Рис.1), достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки принимаем за единицу).
А также, площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо достроить его до прямоугольника ABCD, вычислить площадь прямоугольника ABCD, найти площадь заштрихованной фигуры как сумму площадей треугольников и прямоугольников её составляющих, вычесть её из площади прямоугольника. И хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо, как на следующих рисунках?

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах решетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика: S = В + Г/2 - 1, где S - площадь многоугольника, В - число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г - число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах решетки.
Но рассмотренный выше вывод формулы был без доказательства, не отвечал на вопрос: Почему? Вместе с учителем мы рассмотрели много литературы по данной проблеме.
В книге В.В.Вавилова, А.В.Устинова «Многоугольники на решетках» нам наконец удалось найти понравившееся нам доказательство формулы через сумму углов.

Доказательство формулы Пика.
Пусть В - число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г - число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S=В+Г/2-1.
Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.
S = В + Г/ 2 - 1
В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 (кв.ед.)

Покажу справедливость формулы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата.
Действительно, в этом случае имеем: В=0, Г=4 иS=0+4/2-1=1.

Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины. Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинем параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.

Причем, число узлов решетки, лежащих внутри решетки, В = (а-1)(b-1), а число узлов решетки, расположенных на его границе, Г = 2a + 2b.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и. Имеем в этом случае, В=(а-1)(b-1), Г=2a+2b, тогда по формуле Пика S= (a -1)(b-1) +(2a+2b)/2 -1 = ab-a-b+1+a+b-1=ab. Получили формулу площади прямоугольника со сторонами a, b.
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами a и b. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая, В= ((а-1)(b-1)-c+2 ,)/2 Г=(2a+2b)/2+с-1 и получаем, что S = ((a-1)(b-1)-c+2)/2 + (a+b+c-1)/2 -1 = ab/2- a/2 - b/2 - c/2 + 3/2 +a/2 + b/2 + c/2 - 1/2 - 1 = ab/2. Таким образом, получили формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника. Значит, формула Пика верна для прямоугольного треугольника.
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (Рис.2). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Кто же такой Георг Александер Пик?
Австрийский математик Георг Александер Пик родился 10 августа 1859 году в Вене. Его отец, будучи руководителем частного института, предпочел до 11 лет обучать мальчика на дому, а потом отдал его сразу в четвертый класс гимназии, которую он окончил в 1875 году.
В 16 лет Георг поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. 16 апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти хабилитацию. Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 г., он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры. Преподавательская деятельность в Немецком университете в Праге в 1888 г. Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892г. стал ординарным профессором. В 1910 г. Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911г. возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика - Неванлинны, лемма Шварца-Пика.
Среди всего многообразия достижений австрийского математика выделяется формула для вычисления площадей многоугольников с вершинами в узлах клетки открытая им в 1899 году. Она стала широко известна только в 1969 году,после того, как Гуго Штейнгауз включил ее в свою знаменитую книгу «Математический калейдоскоп».В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
После выхода в 1927 году на пенсию Пик вернулся в свой родной город Вену. Однако после аншлюса (присоединение) 12 марта 1938 года Австрии с Германией ему снова пришлось перебраться в Прагу. В сентябре 1938 года фашистская Германия вторглась на территорию Чехословакии. Г.А.Пик был брошен в концентрационный лагерь в Терзинштадте, где и умер две недели спустя.

Применение формулы Пика.
Задачи из КИМов ОГЭ и ЕГЭ.
Данный вид задач входит в один из разделов части В единого государственного экзамена по математике.
Ознакомление с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ОГЭ. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула Пика заменит целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»! Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых». С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы).

Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.
Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см * 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задача 1.
Дано:
Г=10, В=27.
Решение:S=27+10:2-1=31(кв. ед.)
Ответ: 31 кв.ед.

Задача 2.
Дано:
Г=3, В=0.
Решение: S=0+3:2-1=1 (кв. ед)
Ответ: 1 кв. ед.

Задача 3.
Дано:
Г=4, В=0.
Решение: S=0+4:2-1=1 (кв.ед.)
Ответ: 1 кв.ед.

Задача 4.
Дано:
Г=6, В=3.
Решение: S=3+6:2-1=5(кв.ед.)
Ответ: 5 кв.ед.

Задача 5.
Дано:
Г=6, В=16.
Решение:S=16+6:2-1=17(кв.ед.)
Ответ: 17 кв.ед.

Задача 6: Найти площадь «ракеты».
Дано:
Г=20, В=25.
Решение:S=25+20:2-1=34 (кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.

Задача 7: Найти площадь кувшина.
Дано:
Г=6, В=14.
Решение:S=14+6:2-1=16 (кв.ед.)
Ответ: 16 кв.ед.

Задача 8: Найти площадь «плачущего сердца».
Дано:
Г=10, В=4.
Решение:S=4+10:2-1=8(кв.ед.)
Ответ: 8 кв.ед.

Задача 9.
Дано:
Г-9, В=11.
Решение:S= 11+9:2-1=14,5(кв.ед.)
Ответ: 14,5 кв.ед.

Задача 10.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение:S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.

Задача 11.
Дано:
Г=16, В=27.
Решение: S=27+16:2-1=34(кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.

Задача 12.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение:S=32+26:2-1=44(кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.

Задача 13.
Дано:
Г=22, В=30.
Решение:S=30+22:2-1=40 (кв.ед.)
Ответ: 40 кв.ед.

Задача 14.
Дано:
Г=28, В=52.
Решение:S=52+28:2-1=65 (кв.ед.)
Ответ: 65 кв.ед.

Задача 15.
Шахматный король обошел доску 8*8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)
Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2 - 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64 полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким образом, хотя таких траекторий короля достаточно много, но все они ограничивают многоугольники равных площадей.
Ответ: 31

Задача 16.
Середины сторон квадрата соединены отрезками с вершинами. Найти площадь восьмиугольника и отношение площади квадрата к площади восьмиугольника, образованного проведенными отрезками.
Так как нужно найти отношение площадей, то размеры квадрата роли не играют. Поэтому рассмотрю квадрат, расположенный на целочисленной решетке, размером 12*12; стороны квадрата лежат в узлах клеточек. Тогда, нетрудно заметить, все вершины восьмиугольника являются узлами решетки; более того, отсюда легко заметить, что этот восьмиугольник правильным не является— он равносторонний, но не равноугольный. Из формулы Пика теперь легко следует, что площадь восьмиугольника равна
S=21 + 8/2 - 1 = 24 кв.ед. Площадь квадрата равна 122 =144 кв.ед. Поэтому искомое отношение площадей равно 6.
Ответ:24 кв.ед., 6.

Задача 17:Вычислить площадь многоугольника.
Дано:
В=33, Г=28.
Решение: S=33+28:2-1=46 (кв.ед.)
Ответ. 46 кв.ед.

Задача 18: Вычислить площадь многоугольника.
Дано:
В=117, Г= 68.
Решение:S=117+68:2-1=150 (кв.ед.)
Ответ:150 кв.ед.

Игры на клетчатой бумаге.
1. Окружение
Правила игры:
Поединок ведется на листке бумаги. Размеры и форма поля могут быть разными, минимальный размер поля - 12 х12 клеток.
Ходы делаются поочередно карандашом разного цвета. Сделать ход - значит поставить точку своего цвета в любой свободный узел поля.
Цель игры - окружить (взять в плен) своими точками как можно больше точек соперника.
Точка считается окруженной, если все соседние с ней по вертикали и горизонтали узлы заняты точками соперника. В ходе игры в окружение попадают как отдельные точки, так и целые группы. Окруженные точки обводятся линией, проходящей через все окружившие их точки соперника.
Может возникнуть ситуация, группа точек, пленившая какое-то количество точек противника, сама попадает в окружение. В этом случае «первичные» пленники считаются освобожденными.
Игра заканчивается, когда следующие ходы уже не могут привести к окружению никаких новых точек. Победителем становится тот, кто окружил больше точек.

Точки
Правила игры:
Отметьте на листке несколько точек (не меньше 8). Играют двое, поочередно соединяя любые две точки отрезком. Захватывать какую- либо третью точку нельзя. Каждая точка может быть концом только одного отрезка. Линии не должны пересекаться. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередного хода.

Эксперимент и исследование
Мы решили провести эксперимент для того, чтобы выяснить какой из рассмотренных способов является самым эффективным (безошибочным и малозатратным по времени).
Обучающимся8-11 классов мы напомнили и объяснили способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Ученики решали задачи с помощью формул для нахождения площадей. Каждому нужно было решить 5 задачи и засечь время их выполнения.
Затем мы рассказывали им о формуле Пика, показали на примерах её применение и предложили решить те же задачи, но по формуле Пика (снова засекали время).
Результаты эксперимента представлены в таблице.
Общие результаты эксперимента:
Затраченное время - среднее значение (мин) Количество уч-ся, допустивших ошибки Безошибочных работ

T1 T2 О1 О2 Э1 Э2
8 класс
(20 учеников) 6,8 3,5 13 4 11 16
9 класс
(12 учеников) 6,6 3,7 13 6 5 7
10 - 11 класс
(7 человек) 4,7 2,4 2 0 5 0
Всего
(39 учеников) 6,3 3,4 28 10 21 23

Проведенный эксперимент показал, что:
никто из учеников не знал формулу Пика;
28 из 39 учащихся допустили ошибки при решении задач известными способами;
10 из 39 учащихся допустили ошибки при решении задач, используя формулу Пика;
количество ошибок, допущенных при решении задач по формуле Пика, сократилось в 2 раза, а у 10 - 11 - классников почти 100 %;
количество безошибочных работ увеличилось в 2 раза, а у 10-11 - классников - в 9 раз;
время, затраченное на решение по формуле Пика, сократилось в 2 раза.
Результаты эксперимента:
Количество участвующих в эксперименте Затраченное время Количество ошибок
ИФ ФП О1 О2
1/8 6 4 2 1
2/8 6 3 0 0
3/8 7 4 0 0
4/8 6 3 0 0
5/8 6 3 0 0
6/8 4 2 0 0
7/8 9 3 2 1
8/8 6 4 1 0
9/8 6 3 0 0
10/8 9 2 0 0
11/8 4 3 1 0
12/8 5 3 2 1
13/8 6 3 0 0
14/8 9 2 0 0
15/8 10 5 1 0
16/8 5 6 2 1
17/8 8 6 1 0
18/8 10 5 0 0
19/8 7 3 1 0
20/8 6 3 0 0
21/9 6 3 1 0
22/9 7 4 2 1
23/9 8 4 2 1
24/9 6 3 0 0
25/9 9 5 2 1
26/9 9 5 3 2
27/9 6 3 0 0
28/9 5 3 0 0
29/9 7 4 2 1
30/9 5 3 0 0
31/9 5 3 0 0
32/9 6 4 1 0
33/10 5 3 0 0
34/10 4 2 0 0
35/10 6 3 1 0
36/10 4 2 0 0
37/10 6 3 1 0
38/11 4 2 0 0
39/11 4 2 0 0
Всего
(39 учеников)

ИФ - решение задач известными способами,
ФП - решение задач по формуле Пика.

Заключение
В процессе исследования я изучил много справочной, научно-популярной литературы, побывал на сайтах: малый Мехмат МГУ, ФИПИ, прочитал некоторые книги в электронном виде. Рассмотрел различные задачи на построение и вычисления, заданные на клетчатой бумаге, подобрал нестандартные задания. Эти задачи отличаются от обычных задач, изложенных в действующих учебниках и задачниках по математике.
Любители головоломок увлекаются решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению, поскольку здесь не требуется глубокого знания геометрии.
Вместе с тем, задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач.
В результате работы я расширил свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.
Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности - от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.