Минимальное натуральное число. Изучение точного предмета: натуральные числа — это какие числа, примеры и свойства

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.)

Натура́льные чи́сла (от лат. naturalis - естественный; естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом .

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

  • подсчёте (нумерации) предметов (первый , второй , третий , четвёртый , пятый"…);
  • натуральные числа - числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов , 1 предмет , 2 предмета , 3 предмета , 4 предмета , 5 предметов"…).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором - с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли нуль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа к натуральным не относятся.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N {\displaystyle \mathbb {N} } (от лат. naturalis - естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n {\displaystyle n} найдётся натуральное число, большее чем n {\displaystyle n} .

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} или Z 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{0}} .

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Основная статья: Аксиомы Пеано

Множество N {\displaystyle \mathbb {N} } будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), принадлежащий N {\displaystyle \mathbb {N} } (1 ∈ N {\displaystyle 1\in \mathbb {N} }), и функция S {\displaystyle S} c областью определения N {\displaystyle \mathbb {N} } и областью значений N {\displaystyle \mathbb {N} } (называемая функцией следования; S: N → N {\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }) так, что выполнены следующие условия:

  1. единица является натуральным числом (1 ∈ N {\displaystyle 1\in \mathbb {N} });
  2. число, следующее за натуральным, также является натуральным (если x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } , то S (x) ∈ N {\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} });
  3. единица не следует ни за каким натуральным числом (∄ x ∈ N (S (x) = 1) {\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)});
  4. если натуральное число a {\displaystyle a} непосредственно следует как за натуральным числом b {\displaystyle b} , так и за натуральным числом c {\displaystyle c} , то b = c {\displaystyle b=c} (если S (b) = a {\displaystyle S(b)=a} и S (c) = a {\displaystyle S(c)=a} , то b = c {\displaystyle b=c});
  5. (аксиома индукции ) если какое-либо предложение (высказывание) P {\displaystyle P} доказано для натурального числа n = 1 {\displaystyle n=1} (база индукции ) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа n {\displaystyle n} , вытекает, что оно верно для следующего за n {\displaystyle n} натурального числа (индукционное предположение ), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть P (n) {\displaystyle P(n)} - некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число n {\displaystyle n} . Тогда, если P (1) {\displaystyle P(1)} и ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) {\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))} , то ∀ n P (n) {\displaystyle \forall n\;P(n)}).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см., а также краткое доказательство), что если (N , 1 , S) {\displaystyle (\mathbb {N} ,1,S)} и (N ~ , 1 ~ , S ~) {\displaystyle ({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})} - две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) f: N → N ~ {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}} такая, что f (1) = 1 ~ {\displaystyle f(1)={\tilde {1}}} и f (S (x)) = S ~ (f (x)) {\displaystyle f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))} для всех x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве N {\displaystyle \mathbb {N} } какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге - Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • S (n) = n ∪ { n } {\displaystyle S(n)=n\cup \left\{n\right\}} .

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

  • 0 = ∅ {\displaystyle 0=\varnothing } ;
  • 1 = { 0 } = { ∅ } {\displaystyle 1=\left\{0\right\}=\left\{\varnothing \right\}} ;
  • 2 = { 0 , 1 } = { ∅ , { ∅ } } {\displaystyle 2=\left\{0,1\right\}={\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}} ;
  • 3 = { 0 , 1 , 2 } = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } {\displaystyle 3=\left\{0,1,2\right\}={\Big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}{\Big \}}} .

Нуль как натуральное число

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на нуль. В этом случае нуль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств нуль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать нуль натуральным числом является то, что при этом N {\displaystyle \mathbb {N} } образует моноид.

В русской литературе обычно нуль исключён из числа натуральных чисел (0 ∉ N {\displaystyle 0\notin \mathbb {N} }), а множество натуральных чисел с нулём обозначается как N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} . Если в определение натуральных чисел включен нуль, то множество натуральных чисел записывается как N {\displaystyle \mathbb {N} } , а без нуля - как N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} .

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество { 1 , 2 , … } {\displaystyle \{1,2,\dots \}} обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают Z + {\displaystyle \mathbb {Z} _{+}} . Множество { 0 , 1 , … } {\displaystyle \{0,1,\dots \}} зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают Z ⩾ 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{\geqslant 0}} .

Положение множества натуральных чисел (N {\displaystyle \mathbb {N} }) среди множеств целых чисел (Z {\displaystyle \mathbb {Z} }), рациональных чисел (Q {\displaystyle \mathbb {Q} }), действительных чисел (R {\displaystyle \mathbb {R} }) и иррациональных чисел (R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} })

Величина множества натуральных чисел

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества», которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала (0 , 1) {\displaystyle (0,1)} . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) {\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{k}\right)}).

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • сложение : слагаемое + слагаемое = сумма;
  • умножение : множитель × множитель = произведение;
  • возведение в степень : a b {\displaystyle a^{b}} , где a {\displaystyle a} - основание степени, b {\displaystyle b} - показатель степени. Если a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} - натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

  • вычитание : уменьшаемое - вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом);
  • деление с остатком : делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p {\displaystyle p} и остаток r {\displaystyle r} от деления a {\displaystyle a} на b {\displaystyle b} определяются так: a = p ⋅ b + r {\displaystyle a=p\cdot b+r} , причём 0 ⩽ r b {\displaystyle 0\leqslant r можно представить в виде a = p ⋅ 0 + a {\displaystyle a=p\cdot 0+a} , то есть можно было бы считать частным любое число, а остатком a {\displaystyle a} .

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

  • Коммутативность сложения:
a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} .
  • Коммутативность умножения:
a ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a} .
  • Ассоциативность сложения:
(a + b) + c = a + (b + c) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} .
  • Ассоциативность умножения:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) {\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)} .
  • Дистрибутивность умножения относительно сложения:
{ a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a {\displaystyle {\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{cases}}} .

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0 . Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1 . С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел Z {\displaystyle \mathbb {Z} } и рациональных положительных чисел Q + ∗ {\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}} соответственно.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A , порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A ], основные арифметические операции определятся следующим образом:

  • [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] {\displaystyle [A]+[B]=} ;
  • [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] {\displaystyle [A]\cdot [B]=} ;
  • [ A ] [ B ] = [ A B ] {\displaystyle {[A]}^{[B]}=} ,
  • A ⊔ B {\displaystyle A\sqcup B} - дизъюнктное объединение множеств;
  • A × B {\displaystyle A\times B} - прямое произведение;
  • A B {\displaystyle A^{B}} - множество отображений из B в A .

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Что такое натуральное число? История, область применения, свойства

Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое – элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика – из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?

Начало начал

Натуральные числа появились наравне с первыми математическими операциями. Раз корешок, два корешок, три корешок… Появились они благодаря индийским ученым, которые вывели первую позиционную систему счисления.
Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе – только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.

В древности числам придавалось мистическое значение, величайший математик Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями – огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.

Что такое натуральное число в математике? Аксиомы Пеано

Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных, комплексных чисел.

Работы итальянского математика Джузеппе Пеано сделали возможной дальнейшую структуризацию арифметики, добились ее формальности и подготовили почву для дальнейших выводов, которые выходили за рамки области поля N. Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.

  • Единица считается натуральным числом.
  • Число, которое идет за натуральным числом, является натуральным.
  • Перед единицей нет никакого натурального числа.
  • Если число b следует как за числом c, так и за числом d, то c=d.
  • Аксиома индукции, которая в свою очередь показывает, что такое натуральное число: если некоторое утверждение, которое зависит от параметра, верно для числа 1, то положим, что оно работает и для числа n из поля натуральных чисел N. Тогда утверждение верно и для n=1 из поля натуральных чисел N.

Основные операции для поля натуральных чисел

Так как поле N стало первым для математических расчетов, то именно к нему относятся как области определения, так и области значений ряда операций ниже. Они бывают замкнутыми и нет. Основным различием является то, что замкнутые операции гарантированно оставляют результат в рамках множества N вне зависимости от того, какие числа задействованы. Достаточно того, что они натуральные. Исход остальных численных взаимодействий уже не столь однозначен и напрямую зависит от того, что за числа участвуют в выражении, так как он может противоречить основному определению. Итак, замкнутые операции:

  • сложение – x + y = z, где x, y, z включены в поле N;
  • умножение – x * y = z, где x, y, z включены в поле N;
  • возведение в степень – xy, где x, y включены в поле N.

Остальные операции, итог которых может не существовать в контексте определения "что такое натуральное число", следующие:


Свойства чисел, принадлежащих полю N

Все дальнейшие математические рассуждения будут основываться на следующих свойствах, самых тривиальных, но от этого не менее важных.

  • Переместительное свойство сложения – x + y = y + x, где числа x, y включены в поле N. Или всем известное "от перемены мест слагаемых сумма не меняется".
  • Переместительное свойство умножения – x * y = y * x, где числа x, y включены в поле N.
  • Сочетательное свойство сложения – (x + y) + z = x + (y + z), где x, y, z включены в поле N.
  • Сочетательное свойство умножения – (x * y) * z = x * (y * z), где числа x, y, z включены в поле N.
  • распределительное свойство – x (y + z) = x * y + x * z, где числа x, y, z включены в поле N.

Таблица Пифагора

Одним из первых шагов в познании школьниками всей структуры элементарной математики после того, как они уяснили для себя, какие числа называются натуральными, является таблица Пифагора. Ее можно рассматривать не только с точки зрения науки, но и как ценнейший научный памятник.

Данная таблица умножения претерпела с течением времени ряд изменений: из нее убрали ноль, а числа от 1 до 10 обозначают сами себя, без учета порядков (сотни, тысячи...). Она представляет собой таблицу, в которой заглавия строк и столбцов - числа, а содержимое ячеек их пересечения равно их же произведению.

В практике обучения последних десятилетий наблюдалась необходимость заучивания таблицы Пифагора "по порядку", то есть сначала шло зазубривание. Умножение на 1 исключалось, так как результат был равен 1 или большему множителю. Между тем в таблице невооруженным взглядом можно заметить закономерность: произведение чисел растет на один шаг, который равен заглавию строки. Таким образом, второй множитель показывает нам, сколько раз нужно взять первый, дабы получить искомое произведение. Данная система не в пример удобнее той, что практиковалась в средние века: даже понимая, что такое натуральное число и насколько оно тривиально, люди умудрялись осложнять себе повседневный счет, пользуясь системой, которая базировалась на степенях двойки.

Подмножество как колыбель математики

На данный момент поле натуральных чисел N рассматривается лишь как одно из подмножеств комплексных чисел, но это не делает их менее ценными в науке. Натуральное число - первое, что познает ребенок, изучая себя и окружающий мир. Раз пальчик, два пальчик... Благодаря ему у человека формируется логическое мышление, а также умение определять причину и выводить следствие, подготавливая почву для больших открытий.

Обсуждение:Натуральное число

Споры вокруг нуля

Что то никак я не могу представить себе ноль натуральным числом… Кажется древние вообще нуля не знали. Да и БСЭ не считает ноль натуральным числом. Так что по крайней мере это спорное утверждение. Может как-то более нейтральней про ноль сказать? Или есть веские аргументы? --.:Ajvol:. 18:18, 9 Сен 2004 (UTC)

Откатил последнее изменение. --Maxal 20:24, 9 Сен 2004 (UTC)

Французкая академия издала в своё время специальный указ по которому 0 включался в множество натуральных чисел. Сейчас это стандарт, по-моему не нужно вводить понятие «русского натурального числа», а придерживаться этого стандата. естественно надо упомянуть что когда-то это было не так (не только в России но и везде). Tosha 23:16, 9 Сен 2004 (UTC)

Французская академия нам не указ. В англоязычной математической литературе тоже нет устоявшегося мнения на этот счет. См. например, --Maxal 23:58, 9 Сен 2004 (UTC)

Где-то вон там написано: " Если пишете статью о спорном вопросе, то постарайтесь представить все точки зрения, дав ссылки на разные мнения.". Bes island 23:15, 25 Дек 2004 (UTC)

Не вижу тут спорного вопроса, а вижу: 1) неуважение к другим участникам путем значительного изменения/удаления их текста (перед внесением сущесвенных изменений принято их обсуждать); 2) замена строгих определений (указание на мощности множеств) на невнятные (велика ли разница между "нумерованием" и "обозначением количества"?). Поэтому повторно делаю откат, впрочем оставляю посленее замечание. --Maxal 23:38, 25 Дек 2004 (UTC)

Неуважение - это как раз то, как я расцениваю Ваши откаты. Так что не будем об этом. Моя правка не меняет сути статьи, она всего лишь чётко формулирует два определения. Предыдущая же версия статьи формулировала определение "без нуля" как основное, а "с нулём" - как некое диссиденство. Это абсолютно не отвечает требованиям Википедии (см. цитату выше), как, впрочем, и не вполне научный стиль изложения в предыдущей версии. Я добавил формулировку "мощность множества" как пояснение к "обозначению количества" и "перечисление" - к "нумерованию". А если Вы не видите разницы между "нумерованием" и "обозначением количества", то, позвольте спросить, отчего тогда Вы правите математические статьи? Bes island 23:58, 25 Дек 2004 (UTC)

Насчет "не меняет сути" - предыдущая версия подчеркивала, что отличие в определениях всего лишь в отнесении нуля к натуральным числам. В Вашей версии определения преподносятся как кардинально различные. Насчет "основного" определения, то так и должно быть, ибо эта статья в русской википедии, а значит в основном надо придерживаться того, что по Вашим же словам общепринято в русских математических школах . Наезды игнорирую. --Maxal 00:15, 26 Дек 2004 (UTC)

Вообще-то это только налицо отличие всего лишь в нуле. На самом деле это именно кардинальное различие, исходящее из различного понимания природы натуральных чисел: в одной версии - как количества; в другой - как номера. Это абсолютно разные понятия, как бы ни пытались Вы скрыть, что не понимаете этого.

Насчёт того, что в русской википедии требуется приводить русскую точку зрения как главенствующую. Посмотрите внимательно вот сюда. Посмотрите на английскую статью о Рождестве. Там не пишется, что Рождество надо праздновать 25 декабря, потому что так празднуют в Англии и США. Там приведены обе точки зрения (а они отличаются не более и не менее, чем отличаются натуральные числа "с нулём" и "без нуля"), и ни единого слова о том, какая из них якобы вернее.

В моём варианте статьи обозначены обе точки зрения как независимые и одинаково имеющие право на существование. Русский стандарт обозначен прореферированными Вами выше словами.

Возможно, с философской точки зрения понятия натуральных чисел действительно абсолютно разные, но статья предлагает математические по сути определения, где все разница в 0 ∈ N {\displaystyle 0\in \mathbb {N} } или 0 ∉ N {\displaystyle 0\not \in \mathbb {N} } . Главенствующая точка зрения или нет - дело тонкое. Я расцениваю фразу observed in most of the Western world on December 25 из английскую статью о Рождестве как выражение главенствующей точки зрения, при том что в первом параграфе никаких других дат не приведено. Кстати, в предыдущей версии статьи о натуральных числах также не было прямых указаний как надо определять натуральные числа, просто определение без нуля преподносилось как более распространённое (в России). В любом случае хорошо, что компромисс найден. --Maxal 00:53, 26 Дек 2004 (UTC)

Как то неприятно удивляет выражение "В русской литературе обычно нуль исключён из числа натуральных чисел", господа ноль не считается натуральным числом, если не оговорено иначе, во всем мире. Те же французы, насколько я их читал, оговаривают включение нуля особо. Конечно N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} находит применение чаще, но если, например, мне нравятся женщины я же не стану переделывать мужчин в женщин. Druid. 2014-02-23

Непопулярность натуральных чисел

Мне кажется, что натуральные числа являются непопулярным объектом в математических статьях (возможно, не в последнюю очередь из-за отсутствия единого определения). По своему опыту я чаще в математических статьях встречаю термины целые неотрицательные числа и целые положительные числа (которые трактуются однозначно) нежели натуральные числа . Заинтересованные стороны прошу высказать своё (не)согласие с данным наблюдением. Если это наблюдение найдёт поддержку, то имеет смысл указать его в статье. --Maxal 01:12, 26 Дек 2004 (UTC)

Без сомнения, Вы правы в резюмативной части Вашего высказывания. Это всё именно из-за расхождений в определении. Я сам в некоторых случаях предпочитаю указать «целые положительные» или «целые неотрицательные» заместо «натуральные», чтобы избежать расхождений касательно причисления нуля. И с резолятивной частью я, в общем-то, согласен. Bes island 01:19, 26 Дек 2004 (UTC) В статьях - да, пожалуй, так и есть. Однако в более объёмных текстах, а также там, где понятие используется часто, обычно используют всё же натуральные числа , предварительно, однако, поясняя, о «каких» натуральных числах идёт речь - с нулём или без него. LoKi 19:31, 30 июля 2005 (UTC)

Числа

Сто́ит ли перечислять в последней части этой статьи названия чисел (один, два, три и т.д.)? Не разумнее ли будет поместить это в статью Число? Всё-таки данная статья, по моему мнению, должна носить более математический характер. Как вы считаете? --LoKi 19:32, 30 июля 2005 (UTC)

Вообще странно как можно из *пустых* множеств получить обычное натуральное число? Вообще сколько пустоту с пустотой не объединяй, кроме пустоты ничего не получится! Это вообще не альтернативное определение? Написано в 21:46, 17 июля 2009 (Москва)

Категоричность системы аксиом Пеано

Добавил замечание о категоричности системы аксиом Пеано, на мой взгляд принципиальное. Прошу правильно оформить ссылку на книгу[[Участник:A_Devyatkov 06:58, 11 июня 2010 (UTC)]]

Аксиомы Пеaно

Практически во всей иностранной литературе и на Википедии аксиомы Пеано начинаются с "0 есть натуральное число". Действительно в первоисточнике написано "1 есть натуральное число". Однако, в 1897 году Пеано вносит изменения, и меняет 1 на 0. Это написано в "Formulaire de mathematiques", Tome II - №2. стр 81. Это ссылка на электронный вариант на нужной странице:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (фр).

Пояснения к этим изменениям даются в "Rivista di matematica", Volume6-7, 1899, стр 76. Также ссылка на электронный вариант на нужной странице:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (итал).

0=0

Что за "аксиомы цифровых вертушек"?

Хотелось бы откатить статью до последней патрулированной версии. Во-первых, аксиомы Пеано кто-то переименовал в аксиомы Пиано, из-за чего ссылка перестала работать. Во-вторых, некий Творогов добавил в статью очень большой кусок информации, на мой взгляд, совершенно неуместный в данной статье. Написано неэнциклопедично, кроме того, приведены результаты самого Творогова и ссылка на его же книгу. Настаиваю на том, что раздел про "аксиомы цифровых вертушек" следует удалить из данной статьи. P.s. Зачем удалили раздел про число ноль? mesyarik 14:58, 12 марта 2014 (UTC)

Тема не раскрыта, необходимо чёткое определение натуральных чисел

Пожалуйста Не пишите ересь типа "Натуральные числа (естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте. " Естественным образом в мозгу ничего не возникает. Там будет именно то что туда положишь.

А для пятилетнего как объяснить какое число является натуральным? Ведь есть люди которым надо объяснять как пятилетним. Чем натуральное отличается от обычного числа? Необходимы примеры! 1, 2, 3 - это натуральное, а 12 натуральное, а -12 ? а три четвёртых, или например 4.25 натуральное? 95.181.136.132 15:09, 6 ноября 2014 (UTC)

  • Натуральные числа - фундаментальное понятие, исходная абстракция. Их нельзя определить. Можно сколь угодно глубоко уйти в философию, но в конечном итоге либо придётся признать (принять на веру?) некую жёсткую метафизическую установку, либо признать, что абсолютного определения нет, натуральные числа - часть искусственной формальной системы, модели, которую придумал человек (или Бог). Вот нашел интересный трактат на эту тему . Как Вам нравится например такой вариант: «Натуральным рядом называется всякая конкретная система Пеано, то есть модель аксиоматической теории Пеано». Полегчало? РоманСузи 17:52, 6 ноября 2014 (UTC)
    • Кажется своими моделями и аксиоматическими теориями всё только усложняете. Такое определение поймут в лучшем случае двое из тысячи человек. Посему я считаю, что первому абзацу не хватает предложения "Простыми словами: натуральные числа это целые положительные числа начиная с единицы включительно." Такое определение нормально звучит для большинства. И не даёт повода сомневаться, в определении натурального числа. Ведь я действительно прочитав статью не понял до конца что такое натуральные числа и число 807423 является натуральным или натуральные это те из которых состоит это число т.е. 8 0 7 4 2 3 . Зачастую усложнения только всё портят. Инфа об натуральных числах должна быть на этой странице а не в многочисленных ссылках на другие страницы. 95.181.136.132 10:03, 7 ноября 2014 (UTC)
      • Здесь надо различать две задачи: (1) наглядно (пусть нестрого) пояснить читателю, далёкому от математики, что такое натуральное число, чтобы он более-менее правильно понял; (2) дать такое строгое определение натурального числа, из которого следуют его основные свойства. Вы правильно выступаете за первый вариант в преамбуле, но ведь именно он и приведен в статье: натуральное число - это математическая формализация счёта: один, два, три и т. д. Ваш пример (807423) безусловно может получиться при счёте, значит, это тоже натуральное число. Мне непонятно, зачем вы смешиваете число и способ его записи цифрами, это отдельная тема, прямо не связанная с определением числа. Ваш вариант пояснения: «натуральные числа это целые положительные числа начиная с единицы включительно » никуда не годится, потому что нельзя определять менее общее понятие (натуральное число) через более общее (число), ещё не определённое. Мне трудно представить читателя, который знает, что такое целое положительное число, но понятия не имеет, что такое натуральное число. LGB 12:06, 7 ноября 2014 (UTC)
        • Натуральные числа нельзя определять через целые. РоманСузи 17:01, 7 ноября 2014 (UTC)
  • «Естественным образом в мозгу ничего не возникает». Последние исследования показывают (ссылок сейчас не найду), что мозг человека подготовлен к использованию языка. Таким образом, естественным образом у нас уже в генах готовность к освоению языка. Ну а для натуральных чисел это и нужно. Понятие "1" можно показать рукой, а дальше - по индукции, добавлять палочки, получая 2, 3 и так далее. Или: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Но может быть у Вас есть конкретные предложения по улучшению статьи, основанные на авторитетных источниках? РоманСузи 17:57, 6 ноября 2014 (UTC)

Что такое натуральное число в математике?

Владимир з

Натуральные числа используются для нумерации объектов и для подсчета их количества. Для нумерации используются целые положительные числа, начиная с 1.

А для подсчета кол-ва сюда еще включают и 0, обозначающий отсутствие объектов.

Содержит ли понятие натуральных чисел число 0 зависит от аксиоматики. Если для изложения какой-либо математической теории требуется наличие 0 в множестве натуральных чисел, то это оговаривают и считают непреложной истиной (аксиомой) в пределах данной теории. К этому очень близко подходит определение числа 0, как положительного, так и отрицательного. Если принять за определение натуральных чисел как множества всех НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ целых чисел, то встает вопрос, каким является число 0 - положительным или отрицательным?

В практическом применении, как правило, используется первое определение, не включающее число 0.

Карандаш

Натуральные числа - это целые положительные числа. Натуральные числа применяются для подсчета (нумерации) объектов или для обозначения количества объектов или для обозначения порядкового номера объекта в перечне. Некоторые авторы искусственно включают в понятие "натуральные числа" ноль. Другие используют формулировку "натуральные числа и ноль". Это непринципиально. Множество натуральных чисел бесконечно, потому что с любым как угодно большим натуральным числом можно выполнить операцию сложения с другим натуральным числом и получить ещё бОльшее число.

Отрицательные и нецелые числа не входят в множество натуральных чисел.

Саяны

Натуральные числа - числа, которые используют для счета. Они могут быть только положительными и целыми. Что это значит на примере? Раз эти числа используют для счета, попробуем что-нибудь посчитать. Что можно посчитать? Например, людей. Мы можем считать людей так: 1 человек, 2 человека, 3 человека и т.д. Числа 1, 2, 3 и другие, используюшщиеся для счета, будут натуральными. Мы никогда не говорим -1 (минус один) человек или 1.5 (полтора) человека (извините за каламбур:), поэтому -1 и 1.5 (как и все отрицательные и дробные числа) не относятся к натуральным.

Лорелея

Натуральные числа - это те числа, которые используют при счете предметов.

Наименьшим натуральным числом является один. Часто возникает вопрос, является ли натуральным числом число ноль. Нет, не является в большинстве российских источников, а в других странах признается число ноль натуральным...

Moreljuba

Под натуральными числами в математике подразумеваются числа, используемые для последовательного счёта чего-либо или кого-либо. Самым маленьким натуральным числом принято считать единицу. Ноль в большинстве случаев не относится к разряду натуральных чисел. Отрицательные числа так же не входят сюда.

Приветствую вас славяне

Натуральные числа, они же естественные - это те числа, которые возникают обычным способом при их счёте, которые больше нуля. Последовательность каждого натурального числа, расположенного в порядке его возрастания будет называется естественным рядом.

Елена никитюк

Термин натуральное число используют в математике. Положительное целое число назвают натуральным. Наименьшее натуральное число принято считать - "0". Чтобы подсчитать что либо используют эти самые - натуральные числа, например 1,2,3... и так далее.

Натуральные числа - это числа, которыми мы производим счет, то есть исла один, два, три, четыре, пять и другие - натуральные числа.

Это обязательно положительные числа больше нуля.

Дробные числа также не относятся к множеству натуральных чисел.

-Орхидея-

Натуральные числа нужны для подсчета чего-либо. Они представляют собой ряд из только положительных чисел, начиная с одного. Важно знать, что числа эти исключительно целые. Натуральными числами можно подсчитать все что угодно.

Марлена

Натуральное число - это целые числа, которыми мы обычно пользуемся при подсчитывании каких-либо объектов. Ноль как таковой не входит в царство натуральных чисел, так как обычно мы не используем его при подсчетах.

Inara-pd

Натуральные числа -это числа,которые мы используем при счете -один,два,три и так далее.

Натуральные числа возникли из практических нужд человека.

Натуральные числа записывают с помощью десяти цифр.

Ноль -не является натуральным числом.

Что такое натуральное число?

Naumenko

Натуральными числами называются числа. употребляемые при нумерации и при счете природных (цветок. дерево. животное. птица и тп) объектов.

Целыми числами наз. числа НАТУРАЛЬНЫЕ, ИМ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ И НОЛЬ,

Объяснять. что такое натуральные через целые неверно!! !

Числа бывают четными - делящиеся на 2 нацело и нечетными - Не делящимися на 2 нацело.

Простыми числами называются числа. имеющие только 2 делителя - единицу и само себя.. .
Первое из ваших уравнений не имеет решений. для второго х=6 6 натуральное число.

Натуральные числа (естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) .

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком \mathbb{N}. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Анна семенченко

числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) .
Существуют два подхода к определению натуральных чисел - числа, используемые при:
перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.
Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .

Таблица разрядов и классов чисел.

1-й класс единицы

1-й разряд единицы

2-й разряд десятки

3-й разряд сотни

2-й класс тысячи

1-й разряд единицы тысяч

2-й разряд десятки тысяч

3-й разряд сотни тысяч

3-й класс миллионы

1-й разряд единицы миллионов

2-й разряд десятки миллионов

3-й разряд сотни миллионов

4-й класс миллиарды

1-й разряд единицы миллиардов

2-й разряд десятки миллиардов

3-й разряд сотни миллиардов

Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы.

Основные свойства натуральных чисел.

  • Коммутативность сложения. a + b = b + a
  • Коммутативность умножения. ab = ba
  • Ассоциативность сложения. (a + b) + c = a + (b + c)
  • Ассоциативность умножения.
  • Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Действия над натуральными числами.

4. Деление натуральных чисел - операция, обратная операции умножения.

Если b ∙ с = а , то

Формулы для деления:

а: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(а ∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(а ∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Числовые выражения и числовые равенства.

Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением .

Например, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами . У равенства есть левая и правая части.

Порядок выполнения арифметических действий.

Сложение и вычитание чисел - это действия первой степени, а умножение и деление - это действия второй степени.

Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо.

Когда выражения состоят из действия только первой и второй степени, то сначала выполняют действия второй степени, а потом - действия первой степени.

Когда в выражении есть скобки - сначала выполняют действия в скобках.

Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Натуральные числа – числа, которые применяют для счета предметов. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую записьчисел называют десятичной.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Самое маленькое натуральное число – единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.

Значение цифры зависит от ее места в записи числа. Например, цифра 4 означает: 4 единицы,если она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц); 4 десятка, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков); 4 сотни, если она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен).

Цифра0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа.Она служит и для обозначения числа «нуль ». Это число означает «ни одного». Счет 0: 3 футбольного матча говорит о том, что первая команда не забила ни одного гола в ворота противника.

Нуль не относят к натуральным числам. И действительно счет предметов никогда не начинают с нуля.

Если запись натурального числа состоит из одного знака – одной цифры, то его называют однозначным. Т.е. однозначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из одного знака – одной цифры. Например, числа 1, 6, 8 – однозначные.

Двузначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из двух знаков – двух цифр.

Например, числа 12, 47, 24, 99 – двузначные.

Так же по числу знаков в данном числе дают названия и другим числам:

числа 326, 532, 893 – трехзначные;

числа 1126, 4268, 9999 – четырехзначные и т.д.

Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные и т.д. числа называют многозначными числами.

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами.

Миллион – это тысяча тысяч (1000 тыс.), его записывают 1 млн или 1 000 000.

Миллиард – это 1000 миллионов. Его записывают 1 млрд или 1 000 000 000.

Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т.д. (рис. 1).

Рис. 1. Класс миллионов, класс тысяч и класс единиц (слева направо)

Число15389000286 записано в разрядной сетке (рис. 2).

Рис. 2. Разрядная сетка: число 15 миллиардов 389 миллионов 286

Это число имеет 286 единиц в классе единиц, нуль единиц в классе тысяч, 389 единиц в классе миллионов и15 единиц в классе миллиардов.

Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.

Запомните!

Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.

1, 2, 3, 4, 5…

Наименьшее натуральное число — 1 .

Наибольшего натурального числа не существует.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.

Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.

Запомните!

Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

Важно!

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

  • 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
  • 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
  • 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.