Задание 4 егэ профиль. Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения

Среднее общее образование

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Математика

Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения

Разбираем задания и решаем примеры с учителем

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).

Минимальный порог - 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».

Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1) Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 - 172 = 5 (куб м)

2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.

Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.

6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ: 15000.

Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.

Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:

Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:

S = В +	Г
	2

где В = 10, Г = 6, поэтому

S = 18 +	6
	2

Ответ: 20.

Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях

Задание № 4 - задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.

Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.

Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :

у которых все вершины красные.

3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.

10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.

11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.

Ответ: 10.

Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).

Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .

Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим

2 3 + x	= 0,4 или		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.

Ответ: –2.

Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.

Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .

Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.

Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16| · (–1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x – 13, где k 1 = 4.

2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:

3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.

Ответ: –0,25.

Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.

Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:

преобразования числовых рациональных выражений;

преобразования алгебраических выражений и дробей;

преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;

действия со степенями;

преобразование логарифмических выражений;

преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.

Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и

3π	< α < π.
4

Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём

tg 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Значит, tg 2 α = ± 0,5.

3) По условию

3π	< α < π,
4

значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.

Ответ: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mv 2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение. Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только

Изобразим решение неравенства графически:

Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.

Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.

Решение: Обозначим a 1 = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d – ежедневное количество задач, решаемых Васей, n = 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S 16 = 560 – общее количество задач, a 16 – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Ответ: 65.

Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.

Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.

Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).

2) Найдем производную функции:

4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума x = –8.

Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11 Скачать бесплатно методические пособия по алгебре

Задание № 13 -повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,

log 3 (2cosx ) =	2	⇔	2cosx = 9	⇔	cosx =	4,5	⇔ т.к. \|cosx \| ≤ 1,

log 3 (2cosx ) =	1		2cosx = √3		cosx =	√3
	2					2

то cosx =	√3
	2

x =	π	+ 2πk
	6

x = –	π	+ 2πk , k ∈ Z
	6

б) Найдём корни, лежащие на отрезке .

Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни

11π	и	13π	.
6		6

Ответ: а)	π	+ 2πk ; –	π	+ 2πk , k ∈ Z ; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Задание № 14 -повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.

Тогда расстояние между хордами составляет либо

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.

б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.

Значит, искомый угол равен

∠ABH = arctg	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:

1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.

2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].

3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].

Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

Решение: а)

1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.

2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.

3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x (√3 + 1)	=	4

1	=	2 – x
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Ответ: 24 – 12√3.

Задание № 17 - задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание - текстовая задача с экономическим содержанием.

Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство

(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.

Ответ: 24.

Задание № 18 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.

При каких a система неравенств

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1

	y + a ≤ \|x \| – a

имеет ровно два решения?

Решение: Данную систему можно переписать в виде

	x 2 + (y – a ) 2 ≤ 1

	y ≤ \|x \| – a

Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а ). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y = | x | – a , причём последний есть график функции
y = | x | , сдвинутый вниз на а . Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.

Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,

Qr = 2a = √2, a =	√2	.
	2

Ответ: a =	√2	.
	2

Задание № 19 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.

Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.

б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .

в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.

Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27

значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.

Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.

в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.

Осталось проверить значения с 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.

Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.

________________

*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.

Задания №4

1 вариант

На экзамене 60 билетов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение:

Определим количество благоприятных исходов:60-3=57

Ответ: 0,95

2 вариант

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелян-ного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стре-ляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Решeние:

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,2·(1 − 0,7) = 0,06 и

0,8·(1 − 0,3) = 0,56. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,06 + 0,56 = 0,62.

Ответ: 0,62.

Приведем другое решение.

Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятно-сти, вероятности этих событий равны соответственно 0,2·0,7 = 0,14 и 0,8·0,3 = 0,24.

Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,14 + 0,24 = 0,38.

Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,38 = 0,62. Ответ: 0,62.

3 вариант

На экзамене 45 билетов, Федя не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение:

Определим количество благоприятных исходов: 45-9=36

Определим вероятность попадания выученного билета:

0,8 или вероятность попадания выученного билета равна 80%

Ответ: 0,8

4 вариант

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Решeние:

0,7·(1 − 0,3) = 0,49. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,06 + 0,49 = 0,55. Ответ: 0,55.

5 вариант

На экзамене 40 билетов, Игорь не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение:

Определим количество благоприятных исходов: 40-2=38

Определим вероятность попадания выученного билета:

0,95 или вероятность попадания выученного билета равна 95%

Ответ: 0,95

6 вариант

Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 теннисистов, среди которых 9 участников из России, в том числе Тимофей Трубников. Найдите вероятность того, что в первом туре Тимофей Трубников будет играть с каким-либо теннисистом из России?

Решение:

В первом туре Тимофей Трубников может сыграть с 26 − 1 = 25 теннисистами, из кото-рых 9 − 1 = 8 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Тимофей Трубников будет играть с каким-либо теннисистом из России, равна = 0,32

Ответ: 0,32.

7 вариант

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминто-нистов, среди которых 16 участников из России, в том числе Игорь Чаев. Какова вероят-ность того, что в первом туре Игорь Чаев будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решeние:

В первом туре Игорь Чаев может сыграть с 76−1=75 бадминтонистами, из которых 16−1 =15 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Игорь Чаев будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна

Ответ: 0,2.

8 вариант

Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 15 участников из России, в том числе Геннадий Горьков. Найдите вероят-ность того, что в первом туре Геннадий Горьков будет играть с каким-либо бадминтонис-том из России.

Решeние:

В первом туре Геннадий Горьков может сыграть с 26−1=25 шашистами, из которых 15−1=14 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Геннадий Горьков будет играть с каким-либо шашистом из России, равна

Ответ: 0,56.

9 вариант

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите веро- ятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решeние:

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 1000−7 = 993 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Ответ: 0,993.

10 вариант

В среднем из 700 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите веро- ятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решeние:

В среднем из 700 садовых насосов, поступивших в продажу, 700−7 = 693 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Ответ: 0,99.

11 вариант

При изготовлении подшипников диаметром 69 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,975. Найдите вероятность то-го, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 68,99 мм или больше чем 69,01 мм.

Решeние:

По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 68,99 до 69,01 мм с вероят- ностью 0,975. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна

1 − 0,975 = 0,025.

Ответ: 0,025.

12 вариант

В фирме такси в данный момент свободно 16 машин: 4 черных, 3 синих и 9 белых. По вы-зову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет черное такси.

Решeние:

Вероятность того, что к заказчице приедет черное такси равна

Ответ: 0,25.

13 вариант

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем - 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96?

Решeние:

Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,7, а при каждом следующем - 0,1. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна:

Последовательно проверяя значения, равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решени-ем является n=3 . Следовательно, необходимо сделать 3выстрела.

Ответ: 3

14 вариант

В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зе-

леных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчи-це. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Решeние:

Вероятность того, что к заказчице приедет зеленое такси равна

Ответ: 0,2.

15 вариант

На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При кон-троле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки посту- пают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решeние:

Пусть завод произвел тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% не- выявленных дефектных тарелок: 0,8 + 0,3тарелок. Поскольку качественных из них 0,8 , вероятность купить качественную тарелку равна

Ответ: 0,93

16 вариант

Максим с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 30 кабинок, из них 11 –синие, 7 – зеленые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке.

Решение:

Число всевозможных исходов 30 (все кабинки). Число благоприятных исходов 30–11–7=12 (оранжевые кабинки). Вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке равна

Ответ: 0,4

17 вариант

Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Необходимо найти вероятность события, когда не перегорят обе лампы, либо не перегорит только первая лампа, либо не перегорит только вторая лампа.

По условию вероятность перегорания лампы 0,3. Значит вероятность исправности лампы в течение года равна 1 – 0,3 = 0,7.

Вероятность события:

«не перегорят обе» равна 0,7∙0,7 = 0,49

«не перегорит первая, но перегорит вторая» равна 0,7∙0,3 = 0,21

«перегорит первая, но не перегорит вторая» равна 0,3∙0,7 = 0,21

Таким образом, вероятность того, что в течение года хотя бы одна не перегорит равна

0,49 + 0,21+ 0,21 = 0,91

Второй способ:

Вероятность того, что перегорят обе лампы равна 0,3∙0,3 = 0,09.

Эти события независимые, но при одновременном их совершении их вероятности перемножаются.

Вероятность того, что не перегорит хотя бы одна лампа равна 1 – 0,09 = 0,91. Это событие противоположное тому событию, когда перегорят обе лампы.

Ответ: 0,91

18 вариант

Кирилл с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 30 кабинок, из них 8 –фиолетовые, 4 – зеленые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Кирилл прокатится в оранжевой кабинке.

Решение:

Число всевозможных исходов 30 (все кабинки). Число благоприятных исходов 30–8–4=18 (оранжевые кабинки). Вероятность того, что Кирилл прокатится в оранжевой кабинке равна

Ответ: 0,6

19 вариант

Игорь с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 40 кабинок, из них 21 –серые, 13 – зеленые, остальные – красные. Кабинки по очереди подходят к плат-форме для посадки. Найдите вероятность того, что Игорь прокатится в оранжевой кабин-ке.

Решение:

Число всевозможных исходов 40 (все кабинки). Число благоприятных исходов 40–21–13= 6 (красные кабинки). Вероятность того, что Игорь прокатится в оранжевой кабинке равна

Ответ: 0,15

20 вариант

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика вы- пускает 30% этих стекол, вторая - 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных сте- кол, а вторая - 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решeние:

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное:

0,3 · 0,03 = 0,009.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное:

0,7 · 0,04 = 0,028.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в ма- газине стекло окажется бракованным равна 0,009 + 0,028 = 0,037.

Ответ: 0,037.

21 вариант

По отзывам покупателей Михаил Михайлович оценил надёжность двух интернет-мага-зинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,81. Вероят-ность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,93. Михаил Михайлович зака-зал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решeние:

Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,93 = 0,07. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,81 = 0,19. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,07 · 0,19 = 0,0133

Ответ: 0,0133

22 вариант

На тарелке 16 пирожков: 8 с мясом, 3 с яблоками и 5 с луком. Настя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом.

Решeние:

Вероятность того, что пирожок окажется с мясом равна

Ответ: 0,5.

23 вариант

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет ге- патит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепати- том, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Извест- но, что 66% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решeние:

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепа- титом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несов-местные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

P(B)= 0,02=0,0068

P(A+B)= P(A) + P(B) = 0,594 + 0,0068 = 0,6008

Ответ: 0,6008

24 вариант

На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решeние:

Вероятность того, что пирожок окажется с вишней равна

Ответ: 0,25.

25 вариант

В некоторой местности наблюдения показали:

1. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.

2. Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4.

3. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Решение:

Вероятность того, что утро пасмурное 0,3. Вероятность того, что утро ясное 1-0,3 = 0,7.

Вероятность того, что при пасмурном утре дождя не будет 1-0,4=0,6

Вероятность того, что при ясном утре дождя не будет 1-0,1=0,9.

Вероятность того, что ясное утро и нет дождя 0,7*0,9 = 0,63.

Вероятность того, что утро пасмурное и нет дождя 0,3*0,6=0,18.

Вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет 0,63 +0,18=0,81.

Ответ: 0,81

26 вариант

Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинками известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с изображением животного.

Решение:

Число всевозможных исходов 30 (общее число наборов пазлов), число благоприятных исходов 18 (с изображением животных). Вероятность того, что Вове достанется пазл с животным равна

Ответ: 0,6

27 вариант

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновремен-но (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение:

Нам необходимо найти вероятность события, когда занят первый продавец, при этом занят второй, и при этом (занятости первого и второго) ещё занят и третий. Используется правило умножения. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Значит вероятность того, что все три продавца заняты, равна: 0,2∙0,2∙0,2 = 0,008

Ответ: 0,008

28 вариант

Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 15 с персонажами мультфильмов и 15 с видами природы. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вите достанется пазл с видами при-роды

Решение:

Число всевозможных исходов 30 (общее число наборов пазлов), число благоприятных исходов 15 (с видами природы). Вероятность того, что Вите достанется пазл с видами природы = 0,5

Ответ: 0,5

29 вариант

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновремен-но (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение:

Ответ: 0,064

30 вариант

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятно- стью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмей- стеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решeние:

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

0,6 · 0,4 = 0,24 Ответ: 0,24.

31 вариант

В сборнике билетов по химии всего 15 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Кислоты». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Кислоты».

Решение:

Решение : Вероятность, того что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Кислоты", равна

Ответ: 0,4

32 вариант

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминто- нистов, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Виктор Поляков..Найдите вероятность того, что в первом туре Виктор Поляков будет играть с каким-либо бадмин-тонистом из России?

Решeние:

В первом туре Виктор Поляков может сыграть с 76 − 1 = 75 бадминтонистами, из которых 22 − 1 = 21 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Виктор Поляков будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 21: 75 = 0,28

Ответ: 0,28

33 вариант

В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают. Найдите веро- ятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решeние:

В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 1500−6 =1494 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 1494:1500=0,996

Ответ: 0,996.

34 вариант

Фабрика выпускает сумки. В среднем 19 сумок из 160 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение:

Всего сумок 160,а без дефектов 160 – 19 = 141.

Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна

Ответ: 0,88

35 вариант

Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов – в первый день 8 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребь-евкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на пос-ледний день конференции?

Решение:
В первый день 8, в два последующих по 16.
Вероятность в последний день 16: 40 = 0,4
Ответ: 0,4

36 вариант

В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 18 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решeние:

В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 2000−18=1982 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 1982:2000=0,991

В задании №4 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить простую задачу по теории вероятностей. Задача совсем простая, достаточно поделить одно число на другое, ну или перед этим вычесть из одного числа другое. Задание интуитивно понятно, и решить его можно даже не зная основных формул комбинаторики. Разберем несколько примеров.

Разбор типовых вариантов заданий №4 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

Алгоритм решения:

Обозначаем событие А.
Определяем число всех событий.
Находим число благоприятствующих исходов.
Подсчитываем вероятность.
Записываем ответ.

Решение:

1. Пусть А –событие, при котором ученику попадает билет с вопросом о грибах.

2. Всего билетов 25, значит всех событий n=25.

3. Благоприятствующих исходов m=2, т.к. только 2 билета содержат вопрос о грибах.
4. Вероятность события А равна Р(А) = m/n=2/25 = 0,08.

Ответ: 0,08.

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

В среднем из 600 садовых насосов, поступивших в продажу, 3 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Алгоритм решения:

Обозначим событие «купленный контрольный насос не подтекает» буквой А.
Найдем число всех событий.
Определим вероятность события А.
Запишем ответ.

Решение:

1. Пусть событие А: выбранный случайным образом насос не протекает.

2. Число всех событий n=600.

3. Число благоприятствующих исходов равно m=600-3=597. Тогда вероятность того, что выбранный насос не подтекает, определяется так:

m/n = 597/600 = 0,995

Ответ: 0,995

Третий вариант задания (из Ященко, №7)

В фирме такси в наличии 60 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные - жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Алгоритм решения:

Обозначим событие «на вызов придет желтая машина» буквой А.
Найдем число всех возможных событий.
Найдем число благоприятствующих событий.
Вычислим вероятность события А.
Запишем ответ.

Решение:

1. Пусть событие А: на вызов придет желтое такси.

2. Число всех событий n=60.

3. Число благоприятствующих исходов равно m=60-27= 33. Тогда вероятность того, что выбранное для поездки будет желтым, определяется так:

Ответ: 0,55.

Четвертый вариант задания (из Ященко, №21)

На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Алгоритм решения:

Обозначим х число всех тарелок, произведенных на фабрике.
Найдем число дефектных тарелок.
Найдем число всех изымаемых при проверке тарелок.
Определим вероятность события А: куплена качественная тарелка.
Запишем ответ.

Решение:

1. Пусть на фабрике изготовлено х тарелок.

2. Бракованных тарелок на фабрике изготовлено 20%. Это всего 0,2x штук. Тогда в торговую сеть поступает 0,8х качественных тарелок.

3. При проверке качества изымается 70% бракованных тарелок, значит, из них 30% поступает в продажу. Получается, на прилавок идет 0,2x · 0,3 = 0,06x бракованных.

Всего в торговую сеть поступает 0,8x + 0,06x = 0,86x тарелок.

4. Пусть событие А: купленная тарелка качественная. Тогда число благоприятствующих событий m=N(A) = 0,8x. Всего число исходов n = 0,86x.

5. Вероятность события А определяем формулой вероятности: P(A) = m/n = 0,8x/0,86x = 0,9302325… ≈ 0,93