Процентная ставка: виды и формулы расчета суммы кредита.
Наверняка каждый, кто когда-то брал кредит или становился вкладчиком банка, вначале сталкивался с понятием «банковская процентная ставка»:
Процентная ставка – это сумма, выраженная в процентном измерении, которая устанавливается банком за пользование кредитом и выплачивается за определенный период – год, квартал или месяц.
- Если деньги кладутся на текущий банковский счет или депозит, вкладчик является кредитором банка, а сам банк – заемщиком.
- Если клиент занимает деньги у банка (берет кредит), то кредитором теперь является банк, а клиент – заемщиков.
Знание этих простых истин избавит от комплексов, которые населению внушают банки, разъясняя им многокилометровые формулы расчетов процентов с биномами Ньютона, факториалами, сложными корнями, степенями и прочей математической лабудой сложностью.
Процентная ставка определяет цену денег
В любом из этих двух случаев процентная ставка имеет оценивающее денежное измерение: какими будут сбережения вкладчика или банка через месяц, год или несколько лет.
Процентная ставка по депозитам вкладчиков обычно ниже ставки по банковским кредитам. В этом заключен основной заработок банковских и финансовых учреждений – взять деньги по меньшей цене и распорядиться ими, переодолжив по более высокой.
Для вкладчиков же депозит - это в основном способ сохранения денежных средств, а не заработка, так депозитные ставки сейчас низки, а в некоторых банках Европы они даже отрицательные.
Базовая процентная ставка – это наименьший кредитный процент, предоставляемый крупным надежным кампаниям и клиентам. БПС обычно устанавливается центральными банками.
Историческая справка о ставках
Исторические размахи ставок впечатляют:
- В Германии, например, базовая процентная ставка колебалась в диапазоне от 90% до 2% в периоды 1920 – 2000 гг.
- В Великобритании – 0,5 – 15% в 1989 – 2009 гг.
- В США ставка ФРС США в 1954 – 2008 гг варьировала между 19 % и 0.25 %.
- В Зимбабве в период гиперинфляции 2007 г. кредитная ставка доходила до 800 %.
Виды ставок
Фиксированные и плавающие ставки
Процентные ставки бывают:
- Фиксированными – неизменными в течение определенного срока.
- Плавающими – изменяемыми и периодически пересматриваемыми банком, в зависимости от некоторых показателей.
Так, классическим показателем является LIBOR – средняя ставка лондонской межбанковской кредитной биржи.
Многие банки определяют плавающую ставку по формуле: LIBOR + n, где n – фиксированная ставка конкретного банка.
Банки России могут ориентироваться на независимую индикативную ставку, например, MosPrime Rate.
Кредитополучателю на растущем рынке кредитных ставок выгодней брать кредит по фиксированной процентной ставке.
По времени выплаты ставки бывают:
- декурсивными – выплачиваемыми в конце вместе с возвратом кредита;
- антисипативными – выплачиваемыми авансом при предоставлении кредита.
Декурсивные ставки выгодны для заемщиков, а антисипативные – для кредиторов, но банки обычно действуют в своих интересах:
- проценты на депозитах рассчитываются декурсивным способом,
- кредитные – антисипативным: при выдаче кредита сразу определяется суммарный процент, который затем делится на количество периодов (обычно месяцев).
Декурсивный и антисипативный способы используются при подсчете простых и сложных процентов, когда первоначальная сумма капитала в каждом отчетном периоде меняется.
- Декурсивный способ удобно использовать при плавающих ставках.
- Антисипативный способ удобен в периоды нестабильности в качестве гаранта выплаты сложных процентов.
Декурсивную ставку еще называют ссудным процентом, так как она определяет отношение полученного дохода (процентов) к начальной денежной сумме.
Как рассчитать ссудный процент и сумму наращивания
Формула определения ссудного процента:
i = I/P (1), где:
- i (income) – ссудный процент;
- I – сумма всех начисленных за отчетный период процентов;
- P – первоначальная денежная сумма (present value).
Сумма наращивания F (future value) определяется по формуле:
F = P + i*n*P = P*(1 + i*n). (2)
Здесь n – количество расчетных периодов.
Отношение F/P – это коэффициент наращивания k n .
k n = 1 + i*n. (3)
Подсчет суммы наращивания F называется компаундингом.
Компаундинг на примере расчета
- Произведем компаундинг банковского кредита размером в 1 млн. руб., выданного под 12 % годовых (простой ставке), сроком на 10 лет по формуле (2)
F = 1000000 *(1 + 0,12 *10) = 2200000 руб.
Первоначальная денежная сумма, выданная банком в долгосрочный десятилетний кредит, часто применяемый в ипотеке, наросла на 1200000 руб., то есть более, чем в два раза.
- Рассчитать сумму наращивания можно и за небольшой период (меньше года). В этом случае формула определения F (2) преобразуется:
F = P * (1 + i * d/K) . (4)
- d – количество календарных дней, на которые взят кредит;
- K – количество дней в году, т.е. 365 или 366.
Рассчитаем наращенную сумму кредита в размере 50000 руб, выданного МФО под указанный в договоре годовую простую ставку в 15 % сроком на 91 день.
Вставив значения в формулу (4), получим:
F = 50000 * (1 + 0,15 *91/365) = 51870 руб.
Часто банки и МФО требуют вернуть суммы больше расчетных – это означает, что были насчитаны дополнительно скрытые проценты в виде всевозможных комиссий. Перед заключением договора следует внимательно прочитывать все его пункты в поисках незаконных способов наращивания капитала.
Дисконтирование
Обратная операция – расчет первоначальной суммы P по наращенной F – называется дисконтированием.
Дисконтирование считается по формуле:
P = F/ (1 + i*n). (5)
Произведем расчет по формуле (5):
P = 100000/(1 + 0,1*3) = 76923 руб.
Расчеты при плавающей ставке
Если ставка плавающая, то наращенная сумма рассчитывается путем суммирования ставок за каждый период их изменения, и формула преобразовывается в некую абстрактную:
F = P *(1 + ∑(1…N) n*i) (6), где:
- n - период от одного до N;
- i– переменная величина ставки;
- ∑(1…N) - сумма произведений n*i за все расчетные периоды.
Выглядит страшно на первый взгляд, а как это происходит, очень легко понять по примеру:
Используем для расчета формулу (6):
F = 500000 *(1 + 0,11 + 0.5 (0,125 + 0,14 + 0,155 + 0,17)) = 500000 * 1.405 = 702500 руб.
Обратите внимание на то, что коэффициент наращивания k, рассчитываемый при фиксированном проценте по формуле (3), при плавающем проценте определяется выражением в скобках формулы (6):
K = 1 + ∑(1…N) n*i. (7)
В данном примере его величина – 1.405.
Расчеты сложных процентов
Этот метод расчета в банковской сфере используется при начислении процентов на долгосрочных депозитах, когда процент начисляется на наращенную предшествующими процентами сумму.
Формула расчета сложных процентов приведена на рисунке ниже.
Размер ставки и инфляция
Процентная ставка может быть номинальной и реальной:
- Номинальная – установленная банком.
- Реальная - с поправкой на инфляцию.
Реальная ставка i real меньше номинальной i nom на уровень инфляции π.
i real = i nom - π.
Эту формулу обычно используют при маленьком уровне инфляции. При большом инфляционном уровне расчеты производят по более сложной формуле Фишера:
i real = (i nom – π)/(1 + π).
Реальная цена денег
Чтобы определить реальную стоимость денег с учетом инфляции через какое-то время, используют формулу:
R= N/(1+i)ª.
R – реальная стоимость денег;
N – номинальная стоимость;
i– инфляционная ставка;
a – количество периодов (лет, месяцев и т.д.).
Банки обычно повышают процентную кредитную ставку в периоды повышенной инфляции, закладывая ее рост в номинальную ставку. Такой шаг, помимо борьбы с понижением цены денег, дает им возможность поднять процентную ставку по депозитам, чтобы не лишиться вкладчиков.
Финансовая безграмотность населения выгодна банкирам
Иногда проценты кредитования, особенно , противоречат здравому смыслу и являются завуалированной аферой. Поэтому понимание, что такое банковский процент и как рассчитать сумму наращивания должно быть у каждого, кто хочет взять кредит.
Пользуясь финансовой безграмотностью населения, банки сегодня предлагают столь мудреные и сложные формулы расчета, которые требует калькулятора инженера или программиста. Между тем, рассчитать общую сумму кредитных выплат (она же сумма наращивания), как видно по примерам, довольно просто на обычном калькуляторе и даже на листочке. Можно считать по разным формулам выплаты по телу кредита и по процентам, но отклонения между вашими итоговыми расчетами и банковскими все равно не должны быть слишком большими. Тем более здесь приведены формулы расчета по простым, а не сложным процентам, что не противоречит принципам аннуитетных платежей, используемых сегодня при кредитовании.
Банки сегодня практически не используют дифференцированный способ погашения кредита, при котором при начислении процентов учитывается оставшаяся сумма долга, а не первоначальная. Мотивируется это якобы «заботой о клиентах»: зачем, дескать, им напрягать мозги и каждый месяц производить сложные расчеты? Таким образом и получается, что наше кредитование – одно из самых невыгодных в мире.
Давайте посмотрим, во что обходится такая трогательная опека самим заемщикам, и без того оказывающимся в долговых ямах из-за грабительского процента по ипотеке.
На калькуляторе Сбербанка посчитайте переплату по кредиту 2000000 млн. руб. сроком на 10 лет под 16 % годовых при аннуитетных и дифференцированных платежах.
Разница между первым и вторым способами составляет почти 350000руб. Согласны ли вы сэкономить эти деньги, но зато считать проценты каждый месяц? А если даже и не устраивать проверочные расчеты, а просто поверить ипотечному калькулятору? 🙂
Видео: Бешеные процентные ставки.
Очевидно, что при одинаковых условиях (одинаковый срок, простой или
сложный процент) выгоднее та инвестиция, у которой выше процентная став-
ка. Однако зачастую сроки инвестиций и периоды выплат по ним не совпада-
ют. В этом случае для того, чтобы сравнивать инвестиции, необходимо
рассчитывать их процентные ставки, приведенные к одному и тому же вре-
менному периоду. Как правило, в качестве такого периода выбирается год.
Сравнить, какой из банковских вкладов выгоднее:
а) вложение 1000 рублей в банк на месяц под 3% в месяц;
б) вложение 500 рублей в банк на 6 месяцев под 12% за полгода.
Можно вычислить, каков доход в процентном выражении за месяц во вто-
ром случае, и сравнить с уже данным показателем в первом случае. Однако
традиционно в качестве такого периода берется один год.
При этом говорят, что ставка составляет Х процентов годовых.
Вычисление ставки в годовом исчислении можно производить по формуле
простого или сложного процента.
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют 2% от первоначальной
суммы вклада. Найти годовую ставку процента.
Процентную ставку в периоде начисления умножают на число периодов в
Годовая ставка процента = г х n = 2% х 4 квартала = 8% годовых
Вклад в банке дает 1% за 14 дней. Найти годовую ставку процента.
Годовая ставка процента (1% х 365 дней) / 14 дней = 26% годовых
ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА, РАСЧИТАННАЯ ПО ФОРМУЛЕ ПРОСТОГО ПРОЦЕНТА
В общем случае годовая процентная ставка без учета реинвестирования
вычисляется из формулы (4) простого процента:
FV = PV х (1 + nr),
откуда годовая ставка процента (6)
ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРО-
Если мы используем формулу сложного процента, то на единицу вложений
годовая процентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка в
периоде начисления в долях единицы (r)), возведенная в степень, равную
числу периодов начисления (n), минус единица:
rгодовая = (1 + r)n - 1.
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первона-
чальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реин-
вестирования полученного дохода.
rгодовая = (1 + 0,02)4 - 1 = 1,082432 - 1 = 0,0824.
Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при про-
чих равных условиях инвестирования годовая процентная ставка с учетом
реинвестирования выше.
В общем случае годовая процентная ставка с учетом реинвестирования
вычисляется из формулы (3) сложного процента: FV = PV x (1 + r)n откуда
годовая процентная ставка
ПРИВЕДЕНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК К ОДНОМУ ВРЕМЕННОМУ ПЕРИОДУ
С учетом необходимости приведения процентных ставок к одному времен-
ному периоду их общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от
того, в каких единицах (днях, месяцах, кварталах) выражен период инвес-
тирования.
Например, если период инвестирования выражен в днях, то число перио-
дов n = 365/X, где X - число дней. По формуле (6) процентная ставка рав-
По формуле (7) процентная ставка равна
Будучи рассчитана на основе одного временного периода (т. е. n = 1),
формула приобретает совсем простой вид:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием сложно-
го процента?
2. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием просто-
отсюда:
| (2.6) |
Эффективная годовая процентная ставка используется для выявления наиболее благоприятных условий для вкладов в банки и получения кредитов.
Пример 2.8. Банки предлагают следующие условия для вкладов:
1 й банк – 36% годовых начисляемых по полугодиям (j =0.36; m = 2),
2 й банк – 35% годовых начисляемых по кварталам (j = 0.35; m = 4),
3 й банк – 34% годовых начисляемых ежемесячно (j = 0.34; m = 12).
Какой банк предлагает наилучшие условия для вкладов?
Решение данной задачи заключается в нахождении эффективной годовой процентной ставки (i e) для каждого банка. Где она выше, там условия для вкладов лучше.
1) Для 1 го банка:
3) Для 3 го банка:
Самая высокая эффективная, годовая процентная ставка 39,87%, у 2 го банка, т.е. значит, он предлагает самые выгодные условия для вкладов.
Пример 2.9. Первый банк дает кредит под 30% годовых при ежеквартальном начислении процентов. Второй банк дает кредит под 29% годовых при ежемесячном начислении процентов. В каком банке выгоднее взять кредит?
Кредит выгоднее взять в том банке, где эффективная годовая процентная ставка ниже.
1) Для 1 го банка:
2) Для 2 го банка:
Ответ: Кредит выгоднее взять во втором банке.
Расчет срока кредита и процентных ставок.
Рассмотрим формулы, используемые для решения задач такого типа на двух примерах.
Пример 2.10. За какой срок первоначальный капитал в 50000 рублей увеличится до 70000 рублей, если на него начисляется 25% годовых:
a) начисление процентов по простой ставке:
b) начисление процентов по ставке сложных процентов:
c) начисление процентов ежемесячно (m=12).
Решая данную задачу, выведем три формулы.
Решение:
a) 
Для простых процентов
b) для сложных процентов:
От обеих частей берем десятичный логарифм:
Пример 2.11. Какова должна быть процентная ставка, чтобы первоначальный капитал 40000 рублей достиг 55000 рублей за 2 года? Решить данную задачу для случаев:
a) Проценты простые;
b) Проценты сложные;
c) Начисление процентов ежемесячное.
a) Для простых процентов:
 |
| (2.11) |
c) 
Начисление процентов « m » раз в году:
 | (2.14) |
Потоки платежей
В кредитном соглашении, как правило, предусматривается не одноразовое погашение всей суммы долга, а определенное количество выплат, распределенных во времени.
Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей.
Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.
Финансовая рента имеет следующие параметры:
Ø член ренты – величина каждого отдельного платежа;
Ø период ренты – временный интервал между двумя соседними платежами;
Ø срок ренты – время от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода;
Ø процентная ставка – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей;
Ø число платежей в году;
Ø число начислений процентов в году;
Ø моменты платежа внутри периода ренты.
Формулы наращенной суммы.
Пример 3.1. Клиент может вносить в банк в конце каждого года 1000 у.е. Какая сумма будет им накоплена на счете через 3 года, если банк платит 4% по депозиту?
Решение:
Первый взнос 1000 у.е. пробудет на счете 2 года и превратится в сумму: 1000∙ (1+0,04) 2 = 1081,60 (у.е.)
Второй взнос1000 у.е. пробудет на счете 1 год и превратится в сумму:
1000∙ (1+0,04) = 1040 (у.е.)
На третий взнос проценты не начисляются.
Итого на счете у клиента будет сумма.