Теорема о сумме углов треугольника 180 градусов. Сумма углов треугольника

Предварительные сведения

Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.

Теорема о сумме углов в треугольнике

Введем и докажем одну из основных теорем, связанную с треугольников, а именно теорему о сумме углов в треугольнике.

Теорема 1

Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $EGF$. Докажем, что сумма углов в этом треугольнике равняется $180^\circ$. Сделаем дополнительное построение: проведем прямую $XY||EG$ (рис. 2)

Так как прямые $XY$ и $EG$ параллельны, то $∠E=∠XFE$ как накрест лежащие при секущей $FE$, а $∠G=∠YFG$ как накрест лежащие при секущей $FG$

Угол $XFY$ будет развернутым, следовательно, равняется $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Следовательно

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Теорема доказана.

Теорема о внешнем угле треугольника

Еще одной теоремой о сумме углов для треугольника можно считать теорему о внешнем угле. Для начала введем это понятие.

Определение 4

Внешним углом треугольника будем называть такой угол, который будет смежным с каким-либо углом треугольника (рис. 3).

Рассмотрим теперь непосредственно теорему.

Теорема 2

Внешний угол треугольника равняется сумме двух углов треугольника, которые не являются смежным для него.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник $EFG$. Пусть он имеет внешний угол треугольника $FGQ$ (рис. 3).

По теореме 1 ,будем иметь, что $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, следовательно,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Так как угол $FGQ$ внешний, то он смежен с углом $∠G$, тогда

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Найти все углы треугольника, если он является равносторонним.

Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то будем иметь, что и все углы в нем также равны между собой. Обозначим их градусные меры через $α$.

Тогда, по теореме 1 будем получать

$α+α+α=180^\circ$

Ответ: все углы равняются по $60^\circ$.

Пример 2

Найти все углы равнобедренного треугольника, если один его угол равняется $100^\circ$.

Введем следующие обозначения углов в равнобедренном треугольнике:

Так как нам не дано в условии, какой именно угол равняется $100^\circ$, то возможны два случая:

    Угол, равный $100^\circ$ - угол при основании треугольника.

    По теореме об углах при основании равнобедренного треугольника получим

    $∠2=∠3=100^\circ$

    Но тогда только их сумма будет больше, чем $180^\circ$, что противоречит условию теоремы 1. Значит, этот случай не имеет места.

    Угол, равный $100^\circ$ - угол между равными сторонами, то есть

    >>Геометрия: Сумма углов треугольника. Полные уроки

    ТЕМА УРОКА: Сумма углов треугольника.

    Цели урока:

    • Закрепление и проверка знаний учащихся по теме: «Сумма углов треугольника»;
    • Доказательство свойства углов треугольника;
    • Применение этого свойства при решении простейших задач;
    • Использование исторического материала для развития познавательной активности учащихся;
    • Привитие навыка аккуратности при построении чертежей.

    Задачи урока:

    • Проверить умение учащихся решать задачи.

    План урока:

    1. Треугольник;
    2. Теорема о сумме углов треугольника;
    3. Пример задач.

    Треугольник.

    Файл:O.gif Треугольник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
    Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
    Любой многоугольник можно разбить на треугольники - этот процесс называется триангуляция .
    Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников - Тригонометрия .

    Теорема о сумме углов треугольника.

    Файл:T.gif Теорема о сумме углов треугольника - классическая теорема евклидовой геометрии, утверждает что cумма углов треугольника равна 180°.

    Доказательство":

    Пусть дан Δ ABC. Проведем через вершину B прямую, параллельную (AC) и отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Тогда угол (DBC) и угол (ACB) равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей (BC). Тогда сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу (ABD). Но угол (ABD) и угол (BAC) при вершине A треугольника ABC являются внутренними односторонними при параллельных прямых BD и AC и секущей (AB), и их сумма равна 180°. Следовательно, сумма углов треугольника равна 180°. Теорема доказана.


    Следствия.

    Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

    Доказательство:

    Пусть дан Δ ABC. Точка D лежит на прямой AC так, что A лежит между C и D. Тогда BAD – внешний к углу треугольника при вершине A и A + BAD = 180°. Но A + B + C = 180°, и, следовательно, B + C = 180° – A. Отсюда BAD = B + C. Следствие доказано.


    Следствия.

    Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.

    Задача.

    Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
    (Рис.1)

    Решение:

    Пусть в Δ АВС ∠DАС – внешний (Рис.1). Тогда ∠DАС=180°-∠ВАС (по свойству смежных углов), по теореме о сумме углов треугольника ∠В+∠С =180°-∠ВАС. Из этих равенств получим ∠DАС=∠В+∠С

    Интересный факт:

    Сумма углов треугольника":

    В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180. В геометрии Эвклида она всегда равна 180 . В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180.

    Из истории математики:

    Евклид (III в до н.э) в труде «Начала» приводит такое определение: «Параллельные суть прямые, которые находятся в одной плоскости и, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».
    Посидоний (I в до н.э) «Две прямые, лежащие в одной плоскости, равноотстоящие друг от друга»
    Древнегреческий учёный Папп (III в до н.э) ввёл символ параллельных прямых- знак =. Впоследствии английский экономист Рикардо (1720-1823) этот символ использовал как знак равенства.
    Только в XVIII веке стали использовать символ параллельности прямых - знак ||.
    Ни на миг не прерывается живая связь между поколениями, ежедневно мы усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Древние греки на основе наблюдений и из практического опыта делали выводы, высказывали гипотезы, а затем, на встречах учёных – симпозиумах (буквально « пиршество») – эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В то время и сложилось утверждение: « В споре рождается истина».

    Вопросы:

    1. Что такое треугольник?
    2. Что гласит теорема о сумме углов треугольника?
    3. Чему равен внешний угол треугольника?

    1) Сумма углов треугольника равна 180°.

    Доказательство

    Пусть ABC" - произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
    2) Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

    Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

    Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
    ∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º.
    Отсюда следует
    ∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
    Теорема доказана.

    Из теоремы следует:
    Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.
    3)     Сумма углов треугольника = 180 градусов. Если один из углов прямой (90 градусов) на два остальных приходится тоже 90. значит, каждый из них - меньше 90 то есть они - острые. если один из углов - тупой, то на два остальных приходится менее 90 то есть они явно острые.
    4)     тупоугольный - больше 90 градусов
    остроугольный - меньше 90 градусов
    5) а. Треугольник, у которого один из углов равен 90 градусов.
    б. Катеты и гипотенуза
    6)     6°. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.
    7)     По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит гипотенуза больше каждого из катетов
    8) --- тоже самое, что и 7
    9)     сумма углов треугольника равно 180 градусов. а если бы аждая сторона треугольника была бы больше суммы двух других сторонон, то сумма углов была бы больше 180, что невозможно. следовательно - каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
    10)     Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
    Т. к. этот треугольник прямоугольный, то один из углов у него прямой, т. е. равен 90 градусам.
    Следовательно, сумма двух других острых углов равна 180-90=90 градусов.
    11)     1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.докажем это.рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.

    Материалы, расположенные на этой странице, являются авторскими. Копирование для размешения на других сайтах допускается только с явного согласия автора и администрации сайта.

    Сумма углов треугольника.

    Смирнова И. Н., учитель математики.
    Информационный проспект открытого урока.

    Цель методического занятия: познакомить учителей с современными методами и приемами использования средств ИКТ в различных видах учебной деятельности.
    Тема урока: Сумма углов треугольника.
    Имя урока: «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью». Л. Н Толстой.
    Методические новшества, которые будут положены в основу урока.
    На уроке будут показаны методы научного исследования с использованием ИКТ (использование математических экспериментов, как одной из форм получения новых знаний; экспериментальная проверка гипотез).
    Обзорное описание модели урока.
    1. Мотивация изучения теоремы.
    2. Раскрытие содержания теоремы в ходе математического эксперимента с использованием учебно-методического комплекта «Живая математика».
    3. Мотивация необходимости доказательства теоремы.
    4. Работа над структурой теоремы.
    5. Поиск доказательства теоремы.
    6. Доказательство теоремы.
    7. Закрепление формулировки теоремы и ее доказательства.
    8. Применение теоремы.

    Урок по геометрии в 7 классе
    по учебнику «Геометрия 7-9»
    на тему: «Сумма углов треугольника».

    Тип урока: урок изучения нового материала.
    Цели урока:
    Образовательные: доказать теорему о сумме углов треугольника; получить навыки работы с программой «Живая математика», развитие межпредметных связей.
    Развивающие: совершенствование умений осознанно проводить такие приемы мышления как сравнение, обобщение и систематизация.
    Воспитательные: воспитание самостоятельности и умения работать в соответствии с намеченным планом.
    Оборудование: мультимедийный кабинет, интерактивная доска, карточки с планом практической работы, программа «Живая математика».

    Структура урока.

    1. Актуализация знаний.
      1. Мобилизующее начало урока.
      2. Постановка проблемной задачи с целью мотивации изучения нового ма-териала.
      3. Постановка учебной задачи.
      1. Практическая работа «Сумма углов треугольника».
      2. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.
      1. Решение проблемной задачи.
      2. Решение задач по готовым чертежам.
      3. Подведение итогов урока.
      4. Постановка домашнего задания.

    Ход урока.

    1. Актуализация знаний.

      План урока:

      1. Экспериментальным путем установить и выдвинуть гипотезу о сумме углов любого треугольника.
      2. Доказать это предположение.
      3. Закрепить установленный факт.
    2. Формирование новых знаний и способов действий.
      1. Практическая работа «Сумма углов треугольника».

        Учащиеся садятся за компьютеры и им раздаются карточки с планом практической работы.

        Практическая работа по теме «Сумма углов треугольника» (образец карточки)

        Распечатать карточку

        Учащиеся сдают результаты практической работы и садятся за парты.
        После обсуждения результатов практической работы выдвигается гипотеза о том, что сумма углов треугольника равна 180°.
        Учитель: Почему мы пока не можем утверждать, что сумма углов абсолютно любого треугольника равна 180°.
        Ученик: Нельзя выполнить ни абсолютно точных построений, ни произвести абсолютно точного измерения, даже на компьютере.
        Утверждение, что сумма углов треугольника равна 180°, относится только к рассмотренным нами треугольникам. Мы ничего не можем сказать о других треугольниках, так как их углы мы не измеряли.
        Учитель: Правильнее было бы сказать: рассмотренные нами треугольники имеют сумму углов приблизительно равную 180°. Чтобы убедиться в том, что сумма углов треугольника точно равна 180° и при том для любых треугольников, нам надо еще провести соответствующие рассуждения, то есть доказать справедливость утверждения, подсказанного нам опытом.

      2. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.

        Учащиеся открывают тетради и записывают тему урока «Сумма углов треугольника».

        Работа над структурой теоремы.

        Чтобы сформулировать теорему, ответьте на следующие вопросы:
        • Какие треугольники использовались в процессе проведения измерений?
        • Что входит в условие теоремы (что дано)?
        • Что мы обнаружили при измерении?
        • В чем состоит заключение теоремы (что надо доказать)?
        • Попробуйте сформулировать теорему о сумме углов треугольника.

        Построение чертежа и краткая запись теоремы

        На этом этапе учащимся предлагается сделать чертеж и записать, что дано и что требуется доказать.

        Построение чертежа и краткая запись теоремы.

        Дано: Треугольник ABC.
        Доказать:
        டA + டB + டC = 180°.

        Поиск доказательства теоремы

        При поиске доказательства следует попытаться развернуть условие или заключение теоремы. В теореме о сумме углов треугольника попытки развернуть условие безнадежны, поэтому разумно заняться с учениками развертыванием заключения.
        Учитель: В каких утверждениях говорится об углах, сумма величин которых равна 180°.
        Ученик: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
        Сумма смежных углов равна 180°.
        Учитель: Попробуем для доказательства использовать первое утверждение. В связи с этим необходимо построить две параллельные прямые и секущую, но необходимо это сделать так, чтобы наибольшее количество углов треугольника стали внутренними или входили в них. Как можно этого добиться?

        Поиск доказательства теоремы.

        Ученик: Провести через одну из вершин треугольника прямую параллельную другой стороне, тогда боковая сторона будет являться секущей. Например, через вершину В.
        Учитель: Назовите образовавшиеся при этих прямых и секущей внутренние односторонние углы.
        Ученик: Углы DBA и ВАС.
        Учитель: Сумма каких углов будет равна 180°?
        Ученик: டDBA и டBAC.
        Учитель: Что можно сказать о величине угла ABD?
        Ученик: Его величина равна сумме величин углов ABC и СВК.
        Учитель: Какого утверждения нам не хватает, чтобы доказать теорему?
        Ученик: டDBC = டACB.
        Учитель: Какие это углы?
        Ученик: Внутренние накрест лежащие.
        Учитель: На основании чего мы можем утверждать, что они равны?
        Ученик: По свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.

        В результате поиска доказательства составляется план доказательства теоремы:

        План доказательства теоремы.

        1. Через одну из вершин треугольника провести прямую, параллельную противолежащей стороне.
        2. Доказать равенство внутренних накрест лежащих углов.
        3. Записать сумму внутренних односторонних углов и выразить их через углы треугольника.

        Доказательство и его запись.

        1. Проведем BD || АС (аксиома параллельных прямых).
        2. ட3 = ட4 (так как это накрест лежащие углы при BD || АС и секущей ВС).
        3. டА + டАВD = 180° (так как это односторонние углы при BD || АС и секущей АВ).
        4. டА + டАВD = ட1 + (ட2 + ட4) = ட1 + ட2 + ட3 = 180°, что и требовалось доказать.

        Закрепление формулировки теоремы и ее доказательства.

        Для усвоения формулировки теоремы учащимся предлагается выполнить следующие задания:

        1. Сформулируйте теорему, которую мы только что доказали.
        2. Выделите условие и заключение теоремы.
        3. К каким фигурам применима теорема?
        4. Сформулируйте теорему со словами «если …, то…».
    3. Применение знаний, формирование умений и навыков.

    Треугольник представляет собой многоугольник, имеющий три стороны (три угла). Чаще всего стороны обозначают маленькими буквами, соответствующими заглавным буквам, которыми обозначают противоположные вершины. В данной статье мы ознакомимся с видами этих геометрических фигур, теоремой, которая определяет, чему равняется сумма углов треугольника.

    Виды по величине углов

    Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:

    • остроугольный, у которого все углы острые;
    • прямоугольный, имеющий один прямой угол, при его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
    • тупоугольный, когда один ;
    • равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья - основанием треугольника;
    • равносторонний, имеющий все три равные стороны.

    Свойства

    Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:

    • напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
    • напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
    • у любого треугольника есть два острых угла;
    • внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
    • сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
    • внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.

    Теорема о сумме углов треугольника

    Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.

    Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.

    Через вершину М проведем КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана.

    Следствие

    Из выше доказанной теоремы вытекает следующее следствие: любой треугольник имеет два острых угла. Чтобы это доказать, допустим, что данная геометрическая фигура имеет всего один острый угол. Также можно предположить, что ни один из углов не является острым. В этом случае должно быть как минимум два угла, величина которых равна или больше 90 градусов. Но тогда сумма углов будет больше, чем 180 градусов. А такого быть не может, поскольку согласно теореме сумма углов треугольника равна 180° - не больше и не меньше. Вот это и нужно было доказать.

    Свойство внешних углов

    Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов - при каждой вершине по два.

    Каждая пара имеет равные между собой углы, поскольку они являются вертикальными:

    ∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

    Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,

    ∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

    Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:

    ∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

    С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:

    ∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

    Прямоугольный треугольник

    Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.

    Пускай нам дан треугольник КМН, у которого ∟Н = 90°. Необходимо доказать, что ∟К + ∟М = 90°.

    Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.

    В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:

    • углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
    • гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
    • сумма катетов больше гипотенузы;
    • катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.

    Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.

    Сумма углов равнобедренного треугольника

    Ранее мы говорили, что равнобедренным называют многоугольник с тремя вершинами, содержащий две равные стороны. Известно такое свойство данной геометрической фигуры: углы при его основании равны. Докажем это.

    Возьмем треугольник КМН, который является равнобедренным, КН - его основание.

    От нас требуется доказать, что ∟К = ∟Н. Итак, допустим, что МА - это биссектриса нашего треугольника КМН. Треугольник МКА с учетом первого признака равенства равен треугольнику МНА. А именно по условию дано, что КМ = НМ, МА является общей стороной, ∟1 = ∟2, поскольку МА - это биссектриса. Используя факт равенства этих двух треугольников, можно утверждать, что ∟К = ∟Н. Значит, теорема доказана.

    Но нас интересует, какова сумма углов треугольника (равнобедренного). Поскольку в этом отношении у него нет своих особенностей, будем отталкиваться от теоремы, рассмотренной ранее. То есть мы можем утверждать, что ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, или 2 х ∟К + ∟М = 180° (поскольку ∟К = ∟Н). Данное свойство доказывать не будем, поскольку сама теорема о сумме углов треугольника была доказана ранее.

    Кроме рассмотренных свойств об углах треугольника, имеют место и такие немаловажные утверждения:

    • в которая была опущена на основание, является одновременно медианой, биссектрисой угла, который находится между равными сторонами, а также его основания;
    • медианы (биссектрисы, высоты), которые проведены к боковым сторонам такой геометрической фигуры, равны.

    Равносторонний треугольник

    Его еще называют правильным, это тот треугольник, у которого равны все стороны. А поэтому равны также и углы. Каждый из них составляет 60 градусов. Докажем это свойство.

    Допустим, что у нас есть треугольник КМН. Нам известно, что КМ = НМ = КН. А это значит, что согласно свойству углов, расположенных при основании в равнобедренном треугольнике, ∟К = ∟М = ∟Н. Поскольку согласно теореме сумма углов треугольника ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 х ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟Н = 60°. Таким образом, утверждение доказано.

    Как видно из выше приведенного доказательства на основании теоремы, сумма углов как и сумма углов любого другого треугольника, составляет 180 градусов. Снова доказывать эту теорему нет необходимости.

    Существуют еще такие свойства, характерные для равностороннего треугольника:

    • медиана, биссектриса, высота в такой геометрической фигуре совпадают, а их длина вычисляется как (а х √3) : 2;
    • если описать вокруг данного многоугольника окружность, то ее радиус будет равен (а х √3) : 3;
    • если вписать в равносторонний треугольник окружность, то ее радиус будет составлять (а х √3) : 6;
    • площадь этой геометрической фигуры вычисляется по формуле: (а2 х √3) : 4.

    Тупоугольный треугольник

    Согласно определению один из его углов находится в промежутке от 90 до 180 градусов. Но учитывая то, что два остальных угла данной геометрической фигуры острые, можно сделать вывод, что они не превышают 90 градусов. Следовательно, теорема о сумме углов треугольника работает при расчете суммы углов в тупоугольном треугольнике. Получается, мы смело можем утверждать, опираясь на вышеупомянутую теорему, что сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам. Опять-таки, данная теорема не нуждается в повторном доказательстве.